Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

б) мат ри ца ал геб раи че ских до пол не ний транс по ни ру ет ся, в ре -
зуль та те че го по лу ча ем при сое ди нен ную или вза им ную мат ри цу к А; обо -
зна ча ет ся
A
P
.
в) вы чис ля ет ся оп ре де ли тель мат ри цы А и при сое ди нен ная мат -
ри ца ум но жа ет ся на ве ли чи ну, об рат ную этому определителю.
A
n
n
n
n nn
-
= ×
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
1
11 21 1
12
22 2
1
2
1
D
D D D
D D D
D D D
K
K
K K K K
K
÷
÷
÷
÷
÷
.
Об рат ная мат ри ца су ще ст ву ет для мат ри цы А при ус ло вии, что
det A ¹ 0
. Та кие мат ри цы на зы ва ют ся не осо бен ны ми (не вы ро ж ден ны ми).
Ес ли мат ри ца А сим мет рич на, то при сое ди нен ная к ней мат ри ца и
об рат ная так же сим мет рич ные. Для диа го наль ной мат ри цы об рат ная —
тоже диагональна.
Вто рой спо соб:
Пусть да на мат ри ца:
A = -
-
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
2 2 3
1 1 0
1 2 1
При пи шем к ней спра ва еди нич ную мат ри цу E:
( ) |A E = -
-
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
®
2 2 3
1 1 0
1 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Те перь на до про де лать три эта па пре об ра зо ва ний строк этой мат -
ри цы, что бы ле вая мат ри ца пре вра ти лась в Е.
Пер вый этап: пер вый стол бец дол жен стать
1
0
0
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
:
12
      б) матрица алгебраических дополнений транспонируется, в ре-
зультате чего получаем присоединенную или взаимную матрицу к А; обо-
значается A P .
      в) вычисляется определитель матрицы А и присоединенная мат-
рица умножается на величину, обратную этому определителю.

                             æ D 11   D 21   K D n1 ö
                             ç                       ÷
                           1 ç D 12   D 22   K D n2 ÷
                   A -1   = ×ç                        .
                           D K        K      K K ÷
                             ç                       ÷
                             çD       D 2n   K D nn ÷ø
                             è 1n

       Обратная матрица существует для матрицы А при условии, что
det A ¹ 0. Такие матрицы называются неособенными (невырожденными).
       Если матрица А симметрична, то присоединенная к ней матрица и
обратная также симметричные. Для диагональной матрицы обратная —
тоже диагональна.

     Второй способ:
     Пусть дана матрица:

                                 æ 2 2 3ö
                                 ç        ÷
                             A = ç 1 -1 0 ÷
                                 ç -1 2 1 ÷
                                 è        ø

     Припишем к ней справа единичную матрицу E:

                             æ 2 2 3 1 0 0ö
                             ç               ÷
                   ( A E ) = ç 1 -1 0| 0 1 0 ÷ ®
                             ç -1 2 1 0 0 1 ÷
                             è               ø

     Теперь надо проделать три этапа преобразований строк этой мат-
рицы, чтобы левая матрица превратилась в Е.
                                               æ1ö
                                               ç ÷
     Первый этап: первый столбец должен стать ç 0 ÷:
                                               ç0÷
                                               è ø
12

Страницы