Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Мат ри ца А, рав ная сво ей об рат ной, на зы ва ет ся ин во лю тив ной
(вза им но об рат ной), то есть А
–1
= А. В ча ст но сти, еди нич ная мат ри ца яв -
ля ет ся ин во лю тив ной E
n
= E
n
–1
. Оп ре де ли тель ин во лю тив ной мат ри цы
ра вен +1.
3) Ранг дан ной мат ри цы есть та кое чис ло r, что по край ней ме ре
один оп ре де ли тель r-го по ряд ка, по лу чен ный из этой мат ри цы, от ли чен
от ну ля, а все оп ре де ли те ли (r+1)-го по ряд ка рав ны ну лю. То есть ранг
мат ри цы ра вен наи боль ше му чис лу ли ней но не за ви си мых строк (или
столб цов).
Квад рат ная мат ри ца А по ряд ка n яв ля ет ся не вы ро ж ден ной в том и
толь ко в том слу чае, ес ли ее ранг r = n, то есть det A ¹ 0.
4) Сле дом (или шпу ром) мат ри цы А = (а
ik
) раз ме ра
n n´
на зы ва ет ся
сум ма ее диа го наль ных эле мен тов:
Sp Tr( ) ( )A A a
ii
i
n
= =
=
å
1
.
Свой ст ва сле да мат ри цы:
Sp(A+B) = Sp(A) + Sp(B);
Sp(aA) = aSp(A);
Sp(AB) = Sp(BA);
Sp(AB – BA) = 0.
5) Мат ри ца, имею щая бо лее чем од ну стро ку и стол бец, пря мы ми,
про ве ден ны ми ме ж ду стро ка ми и (или) столб ца ми, мо жет быть раз би та
на мень шие под мат ри цы.
Две, со от вет ст вую щим об ра зом раз би тые мат ри цы А и B раз ме ра
n n´
, мож но пе ре мно жить, поль зу ясь вхо дя щи ми в них под мат ри ца ми
как эле мен та ми в обыч ной фор му ле про из ве де ния мат риц.
6) Пря мое про из ве де ние A Ä B мат ри цы A= (a
ik
) раз ме ра
( )m n´
и
мат ри цы B = (b
ik
) раз ме ра
( )
¢
´
¢
m n
есть мат ри ца A Ä B = (C
jh
) (c
jh
= a
ik
b
ik
)
раз ме ра
( )mm nn
¢
´
¢
, где j — по ряд ко вый но мер па ры
( , )i i
¢
, а h — по ряд ко -
вый но мер па ры
( , )k k
¢
.
(A Ä B) (C Ä D) = AC Ä BD;
Sp(A Ä B) = SpA × SpB.
14
      Матрица А, равная своей обратной, называется инволютивной
(взаимнообратной), то есть А–1 = А. В частности, единичная матрица яв-
ляется инволютивной En = En–1. Определитель инволютивной матрицы
равен +1.

      3) Ранг данной матрицы есть такое число r, что по крайней мере
один определитель r-го порядка, полученный из этой матрицы, отличен
от нуля, а все определители (r+1)-го порядка равны нулю. То есть ранг
матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или
столбцов).
     Квадратная матрица А порядка n является невырожденной в том и
только в том случае, если ее ранг r = n, то есть det A ¹ 0.

      4) Следом (или шпуром) матрицы А = (аik) размера n ´ n называется
                                                         n
сумма ее диагональных элементов: Sp( A) = Tr( A) = åaii .
                                                        i =1

      Свойства следа матрицы:
      Sp(A+B) = Sp(A) + Sp(B);
      Sp(aA) = aSp(A);
      Sp(AB) = Sp(BA);
      Sp(AB – BA) = 0.

     5) Матрица, имеющая более чем одну строку и столбец, прямыми,
проведенными между строками и (или) столбцами, может быть разбита
на меньшие подматрицы.
       Две, соответствующим образом разбитые матрицы А и B размера
n ´ n, можно перемножить, пользуясь входящими в них подматрицами
как элементами в обычной формуле произведения матриц.

     6) Прямое произведение A Ä B матрицы A= (aik) размера (m ´ n) и
матрицы B = (bik) размера (m ¢ ´ n ¢) есть матрица A Ä B = (Cjh) (cjh = aikbik )
размера (mm ¢ ´ nn ¢), где j — порядковый номер пары (i,i¢), а h — порядко-
вый номер пары (k, k¢).
      (A Ä B) (C Ä D) = AC Ä BD;
      Sp(A Ä B) = SpA × SpB.
14

Страницы