Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

7) Эр ми то ва мат ри ца
Эр ми то вой на зы ва ет ся мат ри ца
A
*
, в ко то рой эле мен ты сим мет -
рич ные по от но ше нию к глав ной диа го на ли, — ком плекс но со пря жен -
ные чис ла:
a a
ik ki
=
*
.
При мер эр ми то вой мат ри цы:
A
i i
i
i
*
=
+
-
- -
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
2 2 3
2 3 4 3
3 1
.
Эр ми то во-со пря жен ная мат ри ца
A
+
по лу ча ет ся транс по ни ро ва -
ни ем ис ход ной мат ри цы А и за ме ной по лу чен ных эле мен тов на ком -
плекс но-со пря жен ные: a
ik
+
= a
ki
*
.
При мер эр ми то во-со пря жен ной мат ри цы:
A
i i
i
i i
A
i i
i
=
+
-
+ - -
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
=
- -
-
- +
+
1 4
5 0 1
3 2 3
1 5 3 2
4 0 3
1
;
i i
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
.
Не труд но ви деть, что эр ми то ва мат ри ца рав на сво ей эр ми то во-
со пря жен ной: a
ik
=a
*
ki
, a
+
ik
=a
ik
, a
+
=a.
Свой ст ва эр ми то вой мат ри цы:
(A+B)
*
= A
*
+ B
*
; (AB)
*
= B
*
A
*
;
(aA)
*
= aA
*
; (A
–1
)
*
= (A
*
)
–1
;
(A
*
)
*
= A; E
*
= E.
Ана ло гич ные свой ст ва и у транс по ни ро ван ной мат ри цы
A
T
.
Итак, квад рат ная мат ри ца А = (a
ik
) на зы ва ет ся:
а) сим мет ри че ской, ес ли
A A
T
=
, то есть ес ли а
ik
= а
ki
;
б) ко со сим мет ри че ской (ан ти сим мет ри че ской), ес ли
A A
T
= -
, то
есть ес ли а
ik
= – а
ki
;
в) эр ми то во-са мо со пря жен ной, ес ли А
*
= А, то есть ес ли а
ik
= а
ki
;
г) ко со эр ми то вой (аль тер ни рую щей), ес ли А
*
= – А, то есть ес ли
а
ik
= – а
ki
;
д) ор то го наль ной, ес ли А
T
А = АА
T
= Е, то есть ес ли А
T
= А
–1
;
е) уни тар ной, ес ли А
*
А = АА
*
= Е, то есть ес ли А
*
= А
–1
.
Оп ре де ли тель уни тар ной мат ри цы по мо ду лю равен 1.
15
     7) Эрмитова матрица
     Эрмитовой называется матрица A * , в которой элементы симмет-
ричные по отношению к главной диагонали, — комплексно сопряжен-
ные числа: aik = aki* .
     Пример эрмитовой матрицы:

                              æ 2      2 + 3i   i ö
                             *
                              ç                     ÷
                          A = ç 2 - 3i   4      3 ÷.
                              ç -i       3      -1 ÷ø
                              è

     Эрмитово-сопряженная матрица A + получается транспонирова-
нием исходной матрицы А и заменой полученных элементов на ком-
плексно-сопряженные: aik+ = aki*.
     Пример эрмитово-сопряженной матрицы:

              æ 1+i      4   i ö           æ 1 - i 5 3 - 2i ö
              ç                  ÷        +
                                           ç                ÷
           A =ç 5        0 1 - i ÷;     A =ç 4     0   -3 ÷.
              ç 3 + 2i   -3 -i ÷ø          ç -i 1 + i   i ÷ø
              è                            è

       Не трудно видеть, что эрмитова матрица равна своей эрмитово-
сопряженной: aik=a*ki, a+ik=aik, a+=a.
       Свойства эрмитовой матрицы:
       (A+B)* = A*+ B*; (AB)* = B*A*;
       (aA)* = aA*; (A–1)* = (A*)–1;
       (A*)* = A; E* = E.
       Аналогичные свойства и у транспонированной матрицы A T .
       Итак, квадратная матрица А = (aik) называется:
       а) симметрической, если A T = A, то есть если аik = аki;
       б) кососимметрической (антисимметрической), если A T = - A, то
есть если аik = – аki;
       в) эрмитово-самосопряженной, если А* = А, то есть если аik = аki;
       г) косоэрмитовой (альтернирующей), если А* = – А, то есть если
аik = – аki;
       д) ортогональной, если АTА = ААT = Е, то есть если АT = А–1;
       е) унитарной, если А*А = АА* = Е, то есть если А* = А–1.
       Определитель унитарной матрицы по модулю равен 1.
                                                                     15

Страницы