Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.1.3 Пре об ра зо ва ние мат риц
1) Пре об ра зо ва ние мат ри цы А, со стоя щее в за ме не строк столб ца -
ми (или на обо рот) при со хра не нии их ну ме ра ции, на зы ва ет ся ее транс -
по ни ро ва ни ем. Транс по ни ро ван ная мат ри ца обозначается
A
T
:
ис ход ная мат ри ца: транс по ни ро ван ная мат ри ца :
A
a a a
a a a
a a a
n
n
m
m mn
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
11 12 1
21
22 2
1
2
K
K
K K K K
K
; A
a a a
a a a
a a a
T
m
m
n
n mn
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
11 21 1
12
22 2
1
2
K
K
K K K K
K
÷
÷
.
( )A B B A
T T T
× = ×
( )m n´
-мат ри ца при транс по ни ро ва нии ста но вит ся
( )n m´
-мат ри -
цей. Ес ли квад рат ная мат ри ца сов па да ет со сво ей транс по ни ро ван ной
(А=
A
T
), то она на зы ва ет ся сим мет рич ной (сим мет рия от но си тель но
глав ной диа го на ли) а
ij
=а
ji
. Мат ри ца, для ко то рой А =
-A
T
на зы ва ет ся
ко со сим мет рич ной.
При мер:
сим мет рич ная мат ри ца: ко со сим мет рич ная мат ри ца:
2 05 3 5
0 5 0 0 7
3 0 01 0
5 7 0 4
.
.
.
-
- -
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
0 2 0 1 0
2 0 3 0
0 1 3 0 7
0 0 7 0
.
.
- -
- -
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
2) Две квад рат ные мат ри цы, про из ве де ние ко то рых рав но еди -
нич ной мат ри це, на зы ва ют ся вза им но об рат ны ми: AA
–1
= A
–1
A = Е;
(A
–1
об рат на A). Ес ли об рат ная мат ри ца су ще ст ву ет, то она — един ст вен -
на для дан ной.
Пра ви ла оп ре де ле ния об рат ной мат ри цы.
Пер вый спо соб:
а) эле мен ты а
ij
дан ной мат ри цы А n-го по ряд ка за ме ня ют ся их ал -
геб раи че ски ми до пол не ния ми D
ij
с уче том пра ви ла зна ка;
11
     3.1.3 Преобразование матриц

     1) Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбца-
ми (или наоборот) при сохранении их нумерации, называется ее транс-
понированием. Транспонированная матрица обозначается A T :
     исходная матрица: транспонированная матрица :

             æ a11   a12    K a1 n ö               æ a11   a21    K am1 ö
             ç                     ÷               ç                     ÷
             ça      a22    K a2 n ÷               ça      a22    K am 2 ÷
         A = ç 21                   ;      AT    = ç 12                   .
               K     K      K K÷                     K     K      K K ÷
             ç                     ÷               ç                     ÷
             ça      am 2   K amn ÷ø               ça      a2 n   K amn ÷ø
             è m1                                  è 1n

                               ( A × B)T = B T × A T

      (m ´ n)-матрица при транспонировании становится (n ´ m)-матри-
цей. Если квадратная матрица совпадает со своей транспонированной
(А=A T ), то она называется симметричной (симметрия относительно
главной диагонали) аi j=аji. Матрица, для которой А = -A T называется
кососимметричной.
      Пример:

     симметричная матрица:                      кососимметричная матрица:
        æ 2 05. 3 -5 ö                               æ 0 2 0.1 0 ö
        ç             ÷                              ç             ÷
        ç 0.5 0 0 7 ÷                                ç -2 0 -3 0 ÷
        ç 3      . 0 ÷
              0 01                                   ç -0.1 3 0 -7 ÷
        ç             ÷                              ç             ÷
        ç -5 7 0 -4 ÷                                ç 0 0 7 0 ÷
        è             ø                              è             ø

       2) Две квадратные матрицы, произведение которых равно еди-
ничной матрице, называются взаимно обратными: AA–1 = A–1A = Е;
(A–1 обратна A). Если обратная матрица существует, то она — единствен-
на для данной.

      Правила определения обратной матрицы.
      Первый способ:
      а) элементы аi j данной матрицы А n-го порядка заменяются их ал-
гебраическими дополнениями Di j с учетом правила знака;
                                                                              11

Страницы