Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r r r r
P P P P( ) ( ) ( )2 1 1
2
= × =
,
r r r r r r
P P P P P P( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 2
3
= × = × =
и так да лее.
Итак,
r r r r r r
P t P P t P t P P
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= - = - =1 1 1 1
, что да ет воз мож ность
най ти ве ро ят но сти пе ре хо да ме ж ду со стоя ния ми за лю бое чис ло ша гов,
зная мат ри цу пе ре хо дов за один шаг.
Не труд но ви деть, что:
p i j
p
ij
ij
= - =
=
ì
í
ï
î
ï
1
2
1
0
,
,
если
для остальных переходов
то есть мы по лу ча ем си туа цию:
p p p
i i i,
( )
1 1 1
1
2
= +
- +
. Та кие со от но ше ния
на зы ва ют ся ре кур рент ны ми.
Цепь Мар ко ва на зы ва ет ся не при во ди мой, ес ли ка ж дое ее со стоя -
ние мо жет быть дос тиг ну то из лю бо го дру го го со стоя ния; то есть для ка -
ж дой па ры со стоя ний
s
i
и
s
j
су ще ст ву ет
p
ij
> 0
.
Пусть
{ }
S
— мно же ст во всех воз мож ных со стоя ний це пи Мар ко ва.
Под мно же ст во
{ }
S
1
со стоя ний на зы ва ет ся замк ну тым, ес ли
нель зя за один шаг пе рей ти из про из воль но го со стоя ния под мно же ст ва
{ }
S
1
в про из воль ное со стоя ние под мно же ст ва
{ }
S
i
1
(до пол не но мно -
же ст вом
{ }
S
1
).
Ес ли
{ }
S
1
со сто ит из един ст вен но го со стоя ния
S
i
, то оно на зы -
ва ет ся по гло щаю щим. Не об хо ди мым и дос та точ ным ус ло ви ем то го, что -
бы со стоя ние
S
i
бы ло по гло щаю щим, яв ля ет ся ус ло вие
p
ii
=1
.
Ес ли са мо мно же ст во
{ }
S
замк ну то и не со дер жит ни ка ко го дру -
го го замк ну то го под мно же ст ва, то оно яв ля ет ся не при во ди мой це пью
Мар ко ва. Ес ли же мно же ст во со дер жит замк ну тые под мно же ст ва, то
цепь на зы ва ет ся при во ди мой.
Пред по ло жим, что мы не хотим воз вра щать ся в ка ке-ли бо со стоя -
ние, в ко то ром уже по бы вали. Обо зна чим ве ро ят ность та ко го со бы тия-
воз вра ще ния в j-со стоя ние че рез
f
j
— че рез t ша гов.
40
      r       r       r       r
      P (2) = P (1) × P (1) = P 2 ,
      r       r        r       r      r       r
      P (3) = P (2) × P (1) = P (1) × P (2) = P 3 и так далее.
                 r        r r               r       r     r
      Итак, P (t ) = P (1)P (t -1) = P (t -1)P (1) = P t , что дает возможность
найти вероятности перехода между состояниями за любое число шагов,
зная матрицу переходов за один шаг.
      Нетрудно видеть, что:


                     ì       1
                     ï pij = , если i - j = 1
                     í       2
                     ï pij = 0 для остальных переходов,
                     î

                                      1
то есть мы получаем ситуацию: pi ,1 = ( pi -1 + pi + 1 ). Такие соотношения
                                      2
называются рекуррентными.
      Цепь Маркова называется неприводимой, если каждое ее состоя-
ние может быть достигнуто из любого другого состояния; то есть для ка-
ждой пары состояний s i и s j существует pij > 0.
      Пусть {S} — множество всех возможных состояний цепи Маркова.
                        { }
      Подмножество S 1 состояний называется замкнутым, если
нельзя за один шаг перейти из произвольного состояния подмножества
{ }                                                 { }
 S 1 в произвольное состояние подмножества S i1 (дополнено мно-

        { }).
жеством S   1



      Если {S } состоит из единственного состояния S , то оно назы-
                1
                                                              i

вается поглощающим. Необходимым и достаточным условием того, что-
бы состояние S i было поглощающим, является условие pii =1.
      Если само множество {S} замкнуто и не содержит никакого дру-
гого замкнутого подмножества, то оно является неприводимой цепью
Маркова. Если же множество содержит замкнутые подмножества, то
цепь называется приводимой.
      Предположим, что мы не хотим возвращаться в каке-либо состоя-
ние, в котором уже побывали. Обозначим вероятность такого события-
возвращения в j-состояние через f j — через t шагов.

40

Страницы