Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер 1. Ка ж дый со труд ник пред при ятия в ра бо чий день мо жет
на хо дить ся в од ном из сле дую щих со стоя ний:
s
1
— ра бо та ет,
s
2
— в ко -
ман ди ров ке,
s
3
— в от пус ке,
s
4
— бо лен (то есть со стоя ния не обя за тель -
но чи сло вые).
Здесь бу дут рас смат ри вать слу чай ные про цес сы
X t( )
, в ко то рых
X t( )
при ни ма ет зна че ние то го со стоя ния, в ко то ром про цесс (то есть его
эле мент) на хо дит ся в мо мент вре ме ни t. Рас смот рим мо мен ты
t t t
n
1
2
, , ,K
:
X X t
i i
= ( )
и
X
i
при ни ма ет зна че ния
s s s
m
1
2
, ,K
.
Про цесс на зы ва ет ся мар ков ским, ес ли ве ро ят ность по пасть в со -
стоя ние
X s
i j
=
в мо мент
t
i
за ви сит не от все го про шло го, а лишь от со -
стоя ния
X s
i
i
-
=
1
, в ко то ром про цесс был в пре ды ду щий мо мент вре ме -
ни
t
i -1
:
[ ] [ ]
P X t s t s p
i j
i
i ij
(
)
= = =
-1
,
то есть это мат ри ца с эле мен та ми
p
ij
.
Мат ри ца
r
P
на зы ва ет ся мат ри цей ве ро ят но стей пе ре хо да, по сколь -
ку ее эле мен ты — ве ро ят но сти пе ре хо дов из со стоя ния i в со стоя ние j.
При мер 2. Мно же ст во со стоя ний сту ден та:
s
1
— пер вый курс,
s
2
–
вто рой курс,
s
3
— тре тий курс,
s
4
— чет вер тый курс, s
5 —
вы пуск, s
6
— спе -
циа лист, окон чив ший вуз, s
7
— от чис ле ние.
Со ста вим мат ри цу пе ре хо дов сту ден та:
p
1
— ве ро ят ность вы быть на 1-м кур се и так да лее;
r
1
— ве ро ят ность пе ре хо да на 2-й курс и так да лее;
q
1
— ве ро ят ность ос тать ся на 1-м кур се и так да лее.
Все ос таль ные ве ро ят но сти рав ны нулю.
r
P
q r p
q r p
q r p
q r p
q r
=
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
5 5
1
2 3 4 5
0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 1
p
s s s s s s
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
6 7
s
.
38
           Пример 1. Каждый сотрудник предприятия в рабочий день может
находиться в одном из следующих состояний: s1 — работает, s 2 — в ко-
мандировке, s 3 — в отпуске, s 4 — болен (то есть состояния не обязатель-
но числовые).
           Здесь будут рассматривать случайные процессы X (t ), в которых
X (t ) принимает значение того состояния, в котором процесс (то есть его
элемент) находится в момент времени t. Рассмотрим моменты
 t 1 ,t 2 ,K,t n : X i = X (t i ) и X i принимает значения s1 , s 2 ,K s m .
           Процесс называется марковским, если вероятность попасть в со-
стояние X i = s j в момент t i зависит не от всего прошлого, а лишь от со-
стояния X i -1 = s i , в котором процесс был в предыдущий момент време-
ни t i -1 :

                       P [ X (t i ) ] = s j [t i -1 ] = s i = pij ,

то есть это матри
                r ца с элементами pij .
       Матрица P называется матрицей вероятностей перехода, посколь-
ку ее элементы — вероятности переходов из состояния i в состояние j.

     Пример 2. Множество состояний студента: s1 — первый курс, s 2 –
второй курс, s 3 — третий курс, s 4 — четвертый курс, s5 — выпуск, s6 — спе-
циалист, окончивший вуз, s7 — отчисление.
     Составим матрицу переходов студента:
     p1 — вероятность выбыть на 1-м курсе и так далее;
     r1 — вероятность перехода на 2-й курс и так далее;
     q1 — вероятность остаться на 1-м курсе и так далее.
     Все остальные вероятности равны нулю.

                        æ q1 r1 0 0 0                       0     p1 ö
                        ç                                             ÷
                        ç 0 q 2 r2 0 0                      0     p2 ÷
                        ç 0 0 q       r3 0                  0     p3 ÷
                    r ç            3
                                                                      ÷
                    P = ç 0 0 0 q 4 r4                     0      p4 ÷
                        ç                                             ÷.
                        ç 0 0 0 0 q5                       r5     p5 ÷
                        ç 0 0 0 0 0                         1     1 ÷
                        ç                                             ÷
                        è 0 0 0 0 0                         0     1 ø
                           s1 s 2 s 3 s 4 s5                s6     s7

38

Страницы