Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3) В ка че ст ве ко ли че ст вен ной ха рак те ри сти ки за ви си мо сти слу -
чай ных ве ли чин ис поль зу ют ко эф фи ци ент кор ре ля ции
r
, рав ный ко ва -
риа ции нор ми ро ван ных слу чай ных ве ли чин.
На при мер, для двух слу чай ных ве ли чин
X
1
и
X
2
:
Y
X E X
X
Y
X E X
X
X E X
X X
1
1 1
1
2
2 2
2
1 1
1
2
=
-
=
-
=
-
( )
( )
;
( )
( )
( )
s s
r cov
s s( )
;
( )
( )X
X E X
X
1
2 2
2
-
é
ë
ê
ù
û
ú
или
r
s s
X X
X X
X X
1
2
1
2
1
2
=
cov( ; )
( ) ( )
;
cov( ) ( ) ( )
&
X X X X
X X
1
2
1
2
1
2
= r s s
.
Для не за ви си мых слу чай ных ве ли чин:
r
X X
1
2
0= ,
так как
cov( ; )X X
1
2
0=
.
| |
r
X X
1
2
1£
. Об рат ное ут вер жде ние неверно.
4) Ко ва риа ци он ной функ ци ей слу чай но го про цес са
X t( )
на зы ва -
ет ся не слу чай ная функ ция:
[ ] [ ]
B t s X t X s E X t E X t X s E X s( , ) ( ), ( ) ( ) ( ( ))( ( ) ( ( ))= = - -cov
,
зна че ние ко то рой при фик си ро ван ных зна че ни ях
t t=
0
,
s s=
0
рав но ко -
эф фи ци ен ту ко ва риа ции двух слу чай ных ве ли чин
X t( )
0
и
X s( )
0
. При
t s=
B t s t( , ) ( )= s
2
.
Кор ре ля ци он ной функ ци ей слу чай но го про цес са
X t( )
на зы ва ет ся
нор ми ро ван ная ко ва риа ци он ная функция:
r s
s s
( , )
( , )
( ) ( )
s
B t s
t s
=
.
Для не за ви си мых про цес сов
B t s( , ) = 0
б
r( , )t s = 0
.
5) Важ ным клас сом про цес сов, для ко то ро го
[ ]
E X t( )
и
B t s( , )
пол -
но стью оп ре де ля ют мно го мер ные рас пре де ле ния, яв ля ет ся га ус сов ский
про цесс, мно го мер ное рас пре де ле ние слу чай ных зна че ний ко то ро го в
мо мен ты
t t t
n
1
2
, , ,K
, за да ет ся сле дую щей функ ци ей рас пре де ле ния:
| |
F X X X
B
X a
t t t
n
n
n
1
2
1
2
22
2
1
2
1
2
, , ,
( , , , )
( )
exp ( )
K
K
K
r
r
= ´
´ - -
p
× -
ì
í
î
ü
ý
þ
-
-¥-¥
òò
B X a dx dx
X
X
n
n
1
1
1
( ) ,
r
r
K
36
     3) В качестве количественной характеристики зависимости слу-
чайных величин используют коэффициент корреляции r, равный кова-
риации нормированных случайных величин.
     Например, для двух случайных величин X 1 и X 2 :
                                     X1 - E(X1 )               X 2 - E(X 2 )
                           Y1 =                    ; Y2 =
                                       s( X 1 )                   s( X 2 )
                                           é X - E(X1 ) X 2 - E(X 2 )ù
                           r X 1 X 2 = cov ê 1         ;             ú
                                           ë s( X 1 )      s( X 2 ) û
                  cov( X 1 ; X 2 )
или r X 1 X 2 =                     ; cov( X 1 X 2 ) = r X X& s ( X 1 )s ( X 2 ).
                 s ( X 1 )s ( X 2 )                       1 2



        Для не за ви си мых слу чай ных ве ли чин: r X 1 X 2 = 0, так как
cov( X 1 ; X 2 ) = 0. |r X 1 X 2 | £ 1. Обратное утверждение неверно.

      4) Ковариационной функцией случайного процесса X (t ) называ-
ется неслучайная функция:
          B(t , s) = cov[ X (t ), X ( s)] = E [ X (t ) - E ( X (t ))( X ( s) - E ( X ( s))],
значение которой при фиксированных значениях t = t 0 , s = s 0 равно ко-
эффициенту ковариации двух случайных величин X (t 0 ) и X ( s 0 ). При
t = s B(t , s) = s 2 (t ).
       Корреляционной функцией случайного процесса X (t ) называется
нормированная ковариационная функция:
                                                        B(t , s)
                                          r(s , s) =               .
                                                       s (t )s ( s)
        Для независимых процессов B(t , s) = 0б r(t , s) = 0.

      5) Важным классом процессов, для которого E [ X (t )] и B(t , s) пол-
ностью определяют многомерные распределения, является гауссовский
процесс, многомерное распределение случайных значений которого в
моменты t 1 ,t 2 ,K,t n , задается следующей функцией распределения:
                                                       1
      F t1 , t2 ,K, tn ( X 1 , X 2 ,K, X n ) =                ´
                                                     n 22
                                               (2 p)      |B|
                   ì 1 r r                  r rü
        X1  Xn

       ´ ò K ò exp í - ( X - a ) 2 × B -1 ( X - a )ý dx 1 Kdx n ,
        -¥  -¥     î 2                             þ
36

Страницы