Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4.4 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
4.4.1 Ос нов ные по ня тия
1) Слу чай ным про цес сом бу дем на зы вать мно же ст во слу чай ных ве -
ли чин
X t( )
, из ме няю щих ся в за ви си мо сти от вре ме ни или ка ко го-ли бо
другого параметра.
Па ра метр t мо жет быть дис крет ным или не пре рыв ным. Слу чай -
ные ве ли чи ны
X t( )
то же мо гут при ни мать дис крет ные или не пре рыв ные
зна че ния. Так как речь идет о мно же ст ве слу чай ных ве ли чин, то их
взаи мо за ви си мость мо жет быть оха рак те ри зо ва на толь ко мно го мер ны -
ми рас пре де ле ния ми.
Слу чай ный про цесс счи та ет ся за дан ным, ес ли для на бо ра
t t t
n
1
2
, , ,K
ука за но мно го мер ное распределение:
{ }
F X X X P X t X t X t
t t t
n n n
n
1
2
1
2
1 1
2 2
, , ,
( , , , ) ( ), ( ), ( )
K
K K=
Слу чай ные про цес сы
X t( )
на зы ва ют ся про цес са ми с не за ви си мы -
ми зна че ния ми, ес ли для лю бо го на бо ра
t t t
n
1
2
, , ,K
слу чай ные ве ли чи -
ны
X t X t X t
n n
1 1
2 2
( ), ( ), ( )K
не за ви си мы, то есть мно го мер ное рас пре де -
ле ние слу чай но го про цес са с не за ви си мы ми зна че ния ми оп ре де ля ет ся
од но мер ны ми рас пре де ле ния ми:
F X X X F X F X F X
t t t
n t t t n
n
n
1
2
1
2
1
2
1
2
, , ,
( , , , ) ( ) ( ) ( )
K
K K=
.
Ма те ма ти че ским ожи да ни ем (сред ним) слу чай но го про цес са
X t( )
на зы ва ет ся не слу чай ная функ ция
[ ]
E X t( ( )
, зна че ние ко то рой при фик -
си ро ван ном зна че нии
t t=
0
рав но ма те ма ти че ско му ожи да нию слу чай -
ной ве ли чи ны
X t( )
0
.
Дис пер си ей слу чай но го про цес са
X t( )
на зы ва ет ся не слу чай ная
функ ция
[ ]
[ ]
s
2
2
( ) ( ) ( )t E X t E X t= -
, зна че ние ко то рой при фик си ро ван -
ном зна че нии
t t=
0
рав но дис пер сии слу чай ной ве ли чи ны
X t( )
0
.
Та ким об ра зом, и ма те ма ти че ское ожи да ние и дис пер сия слу чай -
но го про цес са оп ре де ля ют ся по его од но мер ным рас пре де ле ни ям, по -
это му не да ют ни ка ко го пред став ле ния о взаи мо за ви си мо сти слу чай ных
величин, образующих случайный процесс.
Бо лее эф фек тив ны ми ха рак те ри сти ка ми слу чай но го про цес са
мо гут слу жить по ня тия ко ва риа ции и кор ре ля ции.
34
      4.4 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

      4.4.1 Основные понятия

           1) Случайным процессом будем называть множество случайных ве-
личин X (t ), изменяющихся в зависимости от времени или какого-либо
другого параметра.
           Параметр t может быть дискретным или непрерывным. Случай-
ные величины X (t ) тоже могут принимать дискретные или непрерывные
значения. Так как речь идет о множестве случайных величин, то их
взаимозависимость может быть охарактеризована только многомерны-
ми распределениями.
           Случайный процесс считается заданным, если для набора
 t 1 ,t 2 ,K,t n указано многомерное распределение:

           F t1 , t2 ,K, tn ( X 1 , X 2 ,K, X n ) = P{ X 1 (t 1 ), X 2 (t 2 ), K X n (t n )}

      Случайные процессы X (t ) называются процессами с независимы-
ми значениями, если для любого набора t 1 ,t 2 ,K,t n случайные величи-
ны X 1 (t 1 ), X 2 (t 2 ), K X n (t n ) независимы, то есть многомерное распреде-
ление случайного процесса с независимыми значениями определяется
одномерными распределениями:

             F t1 , t2 ,K, tn ( X 1 , X 2 ,K, X n ) = F t1 ( X 1 )F t2 ( X 2 )K F tn ( X n ).

      Математическим ожиданием (средним) случайного процесса X (t )
называется неслучайная функция E [( X (t )], значение которой при фик-
сированном значении t = t 0 равно математическому ожиданию случай-
ной величины X (t 0 ).
      Дисперсией случайного процесса X (t ) называется неслучайная
                                           2
функция s 2 (t ) = E[ X (t ) - E [ X (t )]] , значение которой при фиксирован-
ном значении t = t 0 равно дисперсии случайной величины X (t 0 ).
      Таким образом, и математическое ожидание и дисперсия случай-
ного процесса определяются по его одномерным распределениям, по-
этому не дают никакого представления о взаимозависимости случайных
величин, образующих случайный процесс.
      Более эффективными характеристиками случайного процесса
могут служить понятия ковариации и корреляции.
34

Страницы