Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2) Ко ва риа ци ей двух слу чай ных ве ли чин
X
i
и
X
j
на зы ва ет ся чис ло
s
ij
, рав ное ма те ма ти че ско му ожи да нию про из ве де ния от кло не ний слу -
чай ных ве ли чин
X
i
и
X
j
от сво их ма те ма ти че ских ожи да ний:
[ ]
s
ij i j i i j j
X X E X E X X E X= = - -cov ( , ) ( ( )( ( ))
.
Ко ва риа цию ино гда на зы ва ют вто рым сме шан ным цен траль ным
мо мен том слу чай ных ве ли чин
X
i
и
X
j
.
Не труд но по ка зать, что:
[ ]
s
ij i i j j
i j j i i j
E X E X X E X
E X X X E X X E X E
= - - =
= - - +
( ( ))( ( ))
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
X E X
E X X E X E X E X E X E X E X
i j
i j j i i j i j
=
= - - + )
( ) ( ) ( ).
=
= -E X X E X E X
i j i j
От сю да лег ко по лу чить: ес ли
X
i
и
X
j
не за ви си мы, то
c o v( ; )X X
1
2
0=
, так как в этом слу чае
E X X E X E X
i j i j
( ) ( ) ( )=
.
Ко ва риа ци он ной мат ри цей слу чай но го век то ра
r
KX X X X
n
= ( ; )
1
2
на зы ва ет ся мат ри ца
å
, эле мен та ми ко то рой яв ля ют ся ко ва риа ции
s
ij i j
X X= cov( )
:
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
å
s s s
s s s
s s s
11 12 1
21
22 2
1
2
K
K
K K K K
K
n
n
n
n nn
.
Ко ва риа ци он ная мат ри ца яв ля ет ся сим мет рич ной
( )s s
ij ji
=
и
ее диа го наль ные эле мен ты рав ны дис пер си ям слу чай ных ве ли чин
X X X
n
1
2
, , ,K
:
s s
ii i
X=
2
(
)
.
Оп ре де ли тель ко ва риа ци он ной мат ри цы
å
на зы ва ет ся обоб щен -
ной дис пер си ей. Обоб щен ную дис пер сию мож но ис поль зо вать как ме ру
рас сея ния n-ме рой случайной величины.
Ес ли слу чай ные ве ли чи ны
X X X
n
1
2
; K
не за ви си мы, то мат ри ца
å
яв ля ет ся диа го наль ной:
cov( ; )X X
1
2
0=
.
35
         2) Ковариацией двух случайных величин X i и X j называется число
s ij , равное математическому ожиданию произведения отклонений слу-
чайных величин X i и X j от своих математических ожиданий:

               s ij = cov( X i , X j ) = E [( X i - E ( X i )( X j - E ( X j ))] .

     Ковариацию иногда называют вторым смешанным центральным
моментом случайных величин X i и X j .
     Нетрудно показать, что:

        s ij = E [( X i - E ( X i ))( X j - E ( X j ))] =
            = E [ X i X j - X j E ( X i ) - X i E ( X j ) + E ( X i )E ( X j )] =
            = E ( X i X j ) - E ( X j )E ( X i ) - E ( X i )E ( X j ) + E ( X i )E ( X j ) =
            = E ( X i X j ) - E ( X i )E ( X j ).

        От сю да лег ко по лу чить: ес ли X i и X j не за ви си мы, то
cov( X 1 ; X 2 ) = 0, так как в этом случае E ( X i X j ) = E ( X i )E ( X
                                                                         r j ).
        Ковариационной матрицей случайного вектора X = ( X 1 ; X 2 K X n )
называется матрица å , элементами которой являются ковариации
s ij = cov( X i X j ):

                                  æ s 11       s 12    K s 1n ö
                                  ç                            ÷
                                  çs          s 22     K s 2n ÷
                              å = ç K21       K        K K ÷
                                                                .
                                  ç                            ÷
                                  çs          s n2     K s nn ÷ø
                                  è n1

         Ковариационная матрица является симметричной (s ij = s ji ) и
ее диагональные элементы равны дисперсиям случайных величин
X 1 , X 2 ,K, X n :

                                        s ii = s 2 ( X i ) .

      Определитель ковариационной матрицы å называется обобщен-
ной дисперсией. Обобщенную дисперсию можно использовать как меру
рассеяния n-мерой случайной величины.
      Если случайные величины X 1 ; X 2 K X n независимы, то матрица
å  яв ля ется диагональной: cov( X 1 ; X 2 ) = 0.

                                                                                               35

Страницы