Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где
r
M
X
X
X
X
n
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
1
2
;
r
M
a
E X t
E X t
E X t
n n
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
( ( ))
( ( ))
( ( ))
1 1
2 2
;
B B t t
i j
= ( ; )
| |
B
— оп ре де ли тель мат ри цы
B
.
Кор ре ля ци он ной мат ри цей слу чай но го век то ра
r
KX X X X
n
= ( , , )
1
2
на зы ва ет ся мат ри ца R:
R
n
n
n
n n
=
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
1
1
1
12 13 1
21
23 2
1
2 3
r r r
r r r
r r r
L
L
L L L L L
L
÷
÷
÷
÷
.
Диа го наль ные эле мен ты R рав ны 1, по сколь ку
r r
ii X X
i i
= =1.
Так как
r
s s s s
r
ij
i j
X X
j i
X X
ji
X X X X
i j j i
= = =
cov cov( ; ) ( ; )
, то R яв ля ет ся сим мет -
рич ной мат ри цей.
| |
r
X X
1
2
1=
толь ко то гда, ко гда
X
1
и
X
2
свя за ны ли ней ной за ви си мо -
стью, то есть
X aX b
2
1
= +
; при чем
r
X X
1
2
1=
ес ли
a > 0
, и
r
X X
1
2
1= -
, ес ли
a< 0
.
Слу чай ный про цесс
X t( )
на зы ва ет ся ста цио нар ным ес ли:
E X t
B t s B s t s t
( ( )) ;
;
( , ) ( ), .
=
=
= - >
const
consts
2
4.4.2 Це пи Мар ко ва
1) Рас смот рим слу чай ный про цесс с дис крет ным вре ме нем и дис -
крет ным ко неч ным мно же ст вом зна че ний (со стоя ний
s s s
m
1
2
, ,K
), в ко -
то рых на хо дит ся эле мент (час ти ца) про цес са.
37
где
                          æ X1     ö      æ E ( X 1 (t 1 )) ö
                          ç        ÷      ç                 ÷
                       r ç X2      ÷ r ç E ( X 2 (t 2 )) ÷
                       X =ç
                            M      ÷; a = ç       M         ÷; B = B(t i ;t j )
                          ç        ÷      ç                 ÷
                          çX       ÷      ç E ( X (t )) ÷
                          è n      ø      è       n n       ø

      |B| — определитель матрицы B.             r
     Корреляционной матрицей случайного вектора X = ( X 1 , X 2 ,K X n )
называется матрица R:
                                  æ 1        r12       r13      L r1 n ö
                                  ç                                    ÷
                                  çr         1         r 23     L r2n ÷
                              R = ç 21                                  .
                                    L        L         L        L L ÷
                                  ç                                    ÷
                                  çr         r n2      r n3     L 1 ÷ø
                                  è n1
       Диагональные элементы R равны 1, поскольку
                                         r ii = r X i X i =1.
                          cov( X i ; X j )       cov( X j ; X i )
       Так как r ij =                        =                      = r ji , то R является симмет-
                             s Xi s Xj              s Xj s Xi
ричной матрицей.
     |r X 1 X 2 | = 1 только тогда, когда X 1 и X 2 связаны линейной зависимо-
стью, то есть X 2 = aX 1 + b; причем r X 1 X 2 = 1 если a > 0, и r X 1 X 2 = -1, если
a< 0.

       Случайный процесс X (t ) называется стационарным если:
       E ( X (t )) = const;
       s 2 = const;
       B(t , s) = B( s - t ), s > t .

       4.4.2 Цепи Маркова

     1) Рассмотрим случайный процесс с дискретным временем и дис-
кретным конечным множеством значений (состояний s1 , s 2 ,K s m ), в ко-
торых находится элемент (частица) процесса.
                                                                                               37

Страницы