Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.2. Казанцев Э.Ф. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Те перь эти ве ро ят но сти за ви сят от вре ме ни, по это му обо зна чим
мат ри цу ве ро ят но стей пе ре хо да за один шаг че рез
r
P n p n n
ij
( ) ( , )= +1
.
Для од но род ной це пи
r r
P n P( ) =
.
Обо зна чим мат ри цу ве ро ят но стей пе ре хо да за не сколь ко ша гов
че рез
r
H m n p m n
ij
( , ) ( , )=
.
За ме тим, что
r r
H m n P n( , ) ( )+ =1
. Те перь урав не ние (4.4.2) мож но за -
пи сать в виде:
r r r
H m n H m q H q n( , ) ( , ) ( , )=
(4.4.3)
при
m q n£ £
. Обо зна чим
r r
H m n J( , ) =
— еди нич ная мат ри ца. Все рас -
смат ри вае мые мат ри цы яв ля ют ся квад рат ны ми, и их раз мер ность рав на
чис лу со стоя ний це пи Мар ко ва.
Ре ше ние урав не ния (4.4.3) сво дит ся к то му, что бы вы ра зить
r
H m n( , )
че рез
r
P n( )
.
Так как вы бор про ме жу точ но го со стоя ния q про из во лен, по ло -
жим сна ча ла
q n= -1
, то гда урав не ние (4.4.3) пе ре пи шем в виде:
p m n p m n p n n
ij iK
K
Kj
( , ) ( , ) ( , )= - -
å
1 1
(4.4.4)
или в мат рич ной фор ме:
r r r
H m n H m n P n( , ) ( , ) ( )= - -1 1
. (4.4.5)
Урав не ния (4.4.4) и (4.4.5) на зы ва ют ся пря мы ми урав не ния ми Чеп -
ме на-Кол мо го ро ва для дис крет ных це пей Мар ко ва, так как они от но сят -
ся к «пе ред ни му» (са мо му близ ко му) кон цу рас смат ри вае мо го про ме -
жут ка вре ме ни.
С дру гой сто ро ны, по ла гая
q m= + 1,
по лу чим:
p m n p m m p n n
ij iK
K
Kj
( , ) ( , ) ( , )= + +
å
1 1
(4.4.6)
или в ма те ри аль ной фор ме:
r r r
H m n P m H m n( , ) ( ) ( , )= +1
(4.4.7)
Урав не ния (4.4.6) и (4.4.7) на зы ва ют ся об рат ны ми урав не ния ми
Чеп ме на– Кол мо го ро ва, так как они от но сят ся к «зад не му» (са мо му от да -
лен но му) кон цу рас смат ри вае мо го промежутка времени.
Так как пря мые и об рат ные урав не ния опи сы ва ют од ну и ту же
цепь Мар ко ва, то ес те ст вен но ожи дать, что ре ше ния этих урав не ний
сов па да ют. Это дей ст ви тель но так, и общее решение имеет вид:
42
       Теперь эти вероятности зависят от времени,r поэтому обозначим
матрицу вероятностей перехода за один шаг через P (n) = pij (n, n +1).
                                  r    r
       Для однородной цепи P (n) = P.
       Обо
       r значим матрицу вероятностей перехода за несколько шагов
через H (m, n) = pij (m, n).
                        r           r
       Заметим, что H (m, n +1) = P (n). Теперь уравнение (4.4.2) можно за-
писать в виде:
        r         r         r
       H (m, n) = H (m,q)H (q, n)                                    (4.4.3)
                                r        r
при m £ q £ n. Обозначим H (m, n) = J — единичная матрица. Все рас-
сматриваемые матрицы являются квадратными, и их размерность равна
числу состояний цепи Маркова.
 r     Решение  r уравнения (4.4.3) сводится к тому, чтобы выразить
H (m, n) через P (n).
       Так как выбор промежуточного состояния q произволен, поло-
жим сначала q = n -1, тогда уравнение (4.4.3) перепишем в виде:
       pij (m, n) = å piK (m, n -1) pKj (n -1, n)                    (4.4.4)
                    K
или в матричной форме:
       r         r          r
      H (m, n) = H (m, n -1)P (n -1).                                (4.4.5)
      Уравнения (4.4.4) и (4.4.5) называются прямыми уравнениями Чеп-
мена-Колмогорова для дискретных цепей Маркова, так как они относят-
ся к «передниму» (самому близкому) концу рассматриваемого проме-
жутка времени.
      С другой стороны, полагая q = m +1, получим:
       pij (m, n) = å piK (m, m +1) pKj (n +1, n)                    (4.4.6)
                    K
или в материальной форме:
       r         r    r
      H (m, n) = P (m)H (m +1, n)                                    (4.4.7)
     Уравнения (4.4.6) и (4.4.7) называются обратными уравнениями
Чепмена–Колмогорова, так как они относятся к «заднему» (самому отда-
ленному) концу рассматриваемого промежутка времени.
     Так как прямые и обратные уравнения описывают одну и ту же
цепь Маркова, то естественно ожидать, что решения этих уравнений
совпадают. Это действительно так, и общее решение имеет вид:
42

Страницы