ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
r r r
K
r
H m n P m P m P n( , ) ( ) ( ) ( )= + -1 1
, (4.4.8)
где
m n£ -1.
В этом мож но убе дить ся не по сред ст вен ной под ста нов кой (4.4.8)
в (4.4.7) и (4.4.6).
Из (3.3.8) так же вид но, что для од но род ной це пи:
r r
H m n P
n m
( , ) .=
-
Ана ло гич ные рас су ж де ния при во дят так же к обоб ще нию на слу -
чай за ви си мо сти от вре ме ни ве ро ят но сти пре бы ва ния сис те мы на
n
-ом
ше ге в со стоя нии
S
j
:
r r
r
p p
( )
( ),
n
n
P n
+
=
1
ре ше ни ем ко то ро го яв ля ет ся
r r
r r
K
r
p p
( ) ( )
( ) ( ) ( ).
n
P P P n
+
=
1 0
0 1
Все мар ков ские про цес сы опи сы ва ют ся урав не ния ми Чеп ме -
на–Кол мо го ро ва, но не все гда наоборот.
Про цесс раз мно же ния и ги бе ли (дис крет ные про цес сы).
Рас смот рим по пу ля цию осо бей. Пусть в со стоя нии
S
k
объ ем по -
пу ля ции ра вен
k
числам.
Пред по ло жим, что объ ем по пу ля ции мо жет из ме нять ся не бо лее
чем на 1, так что ро ж де ние при во дит к уве ли че нию объ е ма на 1, а ги бель
к умень ше нию на 1. При этом не до пус ка ют ся мно го крат ные од но вре -
мен ные ро ж де ния и ги бе ли — то есть рас смо рим Мар ков ский про цесс.
Рас смот рим од но род ную цепь Мар ко ва, то есть
P
ij
не за ви сит от вре ме -
ни, но допучкается зависимость от состояния системы.
Та ким об ра зом, дис крет ный про цесс раз мно же ния и ги бе ли мож -
но пред ста вить в сле дую щем виде:
P
d j i
b d j i
b j i
ij
i
i i
i
=
= -
- - =
= +
,
,
,
,
1
1
1
0 в остальных случаях
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
Здесь
d
i
– ве ро ят ность то го, что на сле дую щем ша ге про изой дет
од на ги бель, умень шит ся объ ем по пу ля ции до
i - 1,
ес ли на дан ном ша ге
объ ем был ра вен
i
;
b
i
– ве ро ят ность ро ж де ния на сле дую щем ша ге, при -
43
r r r r
H (m, n) = P (m)P (m +1)K P (n -1), (4.4.8)
где m £ n -1.
В этом можно убедиться непосредственной подстановкой (4.4.8)
в (4.4.7) и (4.4.6).
Из (3.3.8) также видно, что для однородной цепи:
r r
H (m, n) = P n - m .
Аналогичные рассуждения приводят также к обобщению на слу-
чай зависимости от времени вероятности пребывания системы на n-ом
шеге в состоянии S j :
r ( n +1 ) r n r
p = p P (n),
решением которого является
r ( n +1 ) r ( 0 ) r r r
p = p P (0)P (1)K P (n).
Все марковские процессы описываются уравнениями Чепме-
на–Колмогорова, но не всегда наоборот.
Процесс размножения и гибели (дискретные процессы).
Рассмотрим популяцию особей. Пусть в состоянии S k объем по-
пуляции равен k числам.
Предположим, что объем популяции может изменяться не более
чем на 1, так что рождение приводит к увеличению объема на 1, а гибель
к уменьшению на 1. При этом не допускаются многократные одновре-
менные рождения и гибели — то есть рассморим Марковский процесс.
Рассмотрим однородную цепь Маркова, то есть Pij не зависит от време-
ни, но допучкается зависимость от состояния системы.
Таким образом, дискретный процесс размножения и гибели мож-
но представить в следующем виде:
ìd i , j = i -1
ï
ï1 - bi - di , j = i
Pij = í
ï bi , j = i +1
ïî0, в остальных случаях
Здесь di – вероятность того, что на следующем шаге произойдет
одна гибель, уменьшится объем популяции до i -1, если на данном шаге
объем был равен i; bi – вероятность рождения на следующем шаге, при-
43
