Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4.1. Казанцев Э.Ф. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

РАЗДЕЛ 4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Ис то ри че ская справ ка
Тео рия ве ро ят но стей и ма те ма ти че ская ста ти сти ка из на чаль но
раз ви ва лись в не раз рыв ной свя зи друг с дру гом, так как ве ро ят но ст ные
за ко но мер но сти по лу ча ют ста ти сти че ское вы ра же ние в си лу за ко на
боль ших чи сел (ве ро ят но сти осу ще ст в ля ют ся при бли жен но в ви де час -
тот, а ма те ма ти че ские ожи да ния — в ви де сред них).
Ис то ки ма те ма ти че ской ста ти сти ки мож но най ти в со чи не ни ях
соз да те лей тео рии ве ро ят но стей — Я.Бер нул ли (1654–1705), П.Ла п ла -
са (1749–1827), С.Пу ас со на (1781–1840). Ре шаю щее зна че ние для
даль ней ше го раз ви тия ма те ма ти че ской ста ти сти ки име ли ра бо ты рус -
ской клас си че ской шко лы тео рии ве ро ят но стей — П.Л.Че бы ше ва
(1821–1894), А.А.Мар ко ва (1856–1922), А.М.Ля пу но ва (1857–1918).
Со вре мен ная ло ги че ская схе ма по строе ния ос нов тео рии ве ро ят -
но стей раз ра бо та на А.Н.Кол мо го ро вым (1903–1987). Ак сио мы А.Н.Кол -
мо го ро ва:
I. Ка ж до му со бы тию А по став ле но в со от вет ст вие не от ри ца -
тель ное чис ло Р(А), на зы вае мое ве ро ят но стью со бы тия А .
II. Ес ли со бы тия
A A A
n
1
2
, , ,K K
по пар но не со вме ст ны, то
P A A A P A P A P A
n n
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
2
+ + + + = + + + +K K K K
.
III. Пол ная ве ро ят ность всех эле мен тар ных со бы тий
W
P( )W =1
.
Не труд но ви деть, что свой ст ва ве ро ят но сти, за фик си ро ван ные в
ак сио мах, на по ми на ют свой ст ва пло ща дей и объ е мов. В об щем слу чае
не от ри ца тель ная функ ция Р(А) на зы ва ет ся ме рой, то есть Р(А) яв ля ет ся
ме рой под мно же ст ва А. По ня тие ме ры яв ля ет ся обоб ще ни ем по ня тия
пло ща ди и объ е ма. Та ким об ра зом, тео рию ве ро ят но стей мож но рас -
смат ри вать как один из раз де лов об щей тео рии ме ры.
Язык со вре мен ной тео рии ве ро ят но стей есть язык тео рии мно -
жеств, или, бо лее точ но, язык тео рии ме ры. Но при клад ные за да чи тра -
ди ци он но фор му ли ру ют ся на дру гом, «прак ти че ском» язы ке. В ча ст но -
сти, ко гда мно же ст во
W
(про стран ст во эле мен тар ных со бы тий) яв ля ет ся
ко неч ным мно же ст вом, то при ме ня ет ся уп ро щен ный ме тод под сче та
ве ро ят но стей, ко то рый по лу чил на зва ние клас си че ско го.
Здесь мы бу дем рас смат ри вать толь ко клас си че ский ме тод.
4
     РАЗДЕЛ 4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
     И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

     Историческая справка
       Теория вероятностей и математическая статистика изначально
развивались в неразрывной связи друг с другом, так как вероятностные
закономерности получают статистическое выражение в силу закона
больших чисел (вероятности осуществляются приближенно в виде час-
тот, а математические ожидания — в виде средних).
       Истоки математической статистики можно найти в сочинениях
создателей теории вероятностей — Я.Бернулли (1654–1705), П.Лапла-
са (1749–1827), С.Пуассона (1781–1840). Решающее значение для
дальнейшего развития математической статистики имели работы рус-
ской классической школы теории вероятностей — П.Л.Чебышева
(1821–1894), А.А.Маркова (1856–1922), А.М.Ляпунова (1857–1918).
       Современная логическая схема построения основ теории вероят-
ностей разработана А.Н.Колмогоровым (1903–1987). Аксиомы А.Н.Кол-
могорова:
       I.   Каждому событию А поставлено в соответствие неотрица-
            тельное число Р(А), называемое вероятностью события А .
       II.  Если события A1 , A2 ,K An ,K попарно несовместны, то
            P ( A1 + A2 +K+ An +K) = P ( A1 ) + P ( A2 ) +K+ P ( An ) + K.
     III.    Полная вероятность всех элементарных событий W
                                      P(W) =1.
      Нетрудно видеть, что свойства вероятности, зафиксированные в
аксиомах, напоминают свойства площадей и объемов. В общем случае
неотрицательная функция Р(А) называется мерой, то есть Р(А) является
мерой подмножества А. Понятие меры является обобщением понятия
площади и объема. Таким образом, теорию вероятностей можно рас-
сматривать как один из разделов общей теории меры.
      Язык современной теории вероятностей есть язык теории мно-
жеств, или, более точно, язык теории меры. Но прикладные задачи тра-
диционно формулируются на другом, «практическом» языке. В частно-
сти, когда множество W (пространство элементарных событий) является
конечным множеством, то применяется упрощенный метод подсчета
вероятностей, который получил название классического.
      Здесь мы будем рассматривать только классический метод.
4

Страницы