Основы компьютерной графики для программистов. Казанцев А.В. - 17 стр.

Основы компьютерной графики для программистов                                                                                     17
____________________________________________________________________________________________________________________



выше упомянутых методов. После описания для него будет приведен текст процедуры
на Delphi, написанный автором данной работы.
Зададим порядок обхода вершин и перенесем вершины треугольника и проверяемую
точку так чтобы начало координат совпало с точкой A, например, как показано на
рис. 14а. Конкретное направление обхода вершин треугольника, по или против часовой
стрелки, не имеет значения. Рассмотрим углы α 1 и α 2 , как показано на Рис. 14a, b и c,
где X – точка, проверяемая на принадлежность внутренней области треугольника.




               Рисунок 14. Последовательное измерение углов для получения разности                               (α 2 − α 1 ) .

Утверждается, что только в том случае когда точка X находится внутри треугольника,
знак Sin(α 2 − α 1 ) будет всегда совпадать для всех циклически выбираемых пар углов
α 1 и α 2 при последовательном совмещении вершин треугольника с началом координат.
Пусть вершинам треугольника A, B, C и проверяемой точке X соответствуют радиус-
векторы a = (a x , a y ), b = (bx , b y ) , c = (c x , c y ) и x = ( x, y ) .

Найдем выражение, по которому можно легко вычислить знак Sin(α 2 − α 1 ) .
Для ситуации, изображенной на Рис.14 a
                                                                            (y − a )(c       − a x ) − ( x − a x )(c y − a y )
            Sin(α 2 − α 1 ) = Sinα 2 Cosα 1 − Cosα 2 Sinα 1 =
                                                                                    y    x

                                                                                              x−a c−a

Очевидно, что знак Sin(α 2 − α 1 ) совпадает со знаком числителя правой части. Таким
образом, получаем, что знак левой части определяется выражением
                                         Sign(( y − a y )(c x − a x ) − ( x − a x )(c y − a y )) ,
где Sign – функция получения знака числа. Аналогичные рассуждения для оставшихся
двух случаев, изображенных на рисунках b и с, приводят, соответственно, к
выражениям
                                         Sign(( y − b y )(a x − bx ) − ( x − bx )(a y − b y ))

                                         Sign(( y − c y )(bx − c x ) − ( x − c x )(b y − c y )) .

Доказательство правильности утверждения данного метода можно получить, если
заметить, что знак Sin(α 2 − α 1 ) не меняется при повороте плоскости относительно
начала координат. Тогда, для каждого из трех случаев, изображенных на рисунках 14 a,
b и c, соответствующими поворотами плоскости можно добиться того, чтобы угол
α 1 был равен нулю, а оставшаяся часть треугольника, вместе с проверяемой точкой,


http://www.ksu.ru/persons/9134.ru.html