Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 94 стр.

94
        ÷àñòíîñòè, åñëè áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí, òî:
                                            r r
                        r r
                           ( )   ( )  r r
                  x = a, i , y = a, j , z = a, k ;            ( )
              r r rr r r r r r r
                        ( ) ( ) ( )
             a = a, i i + a , j j + a , k k                                 (4.33)
èëè
               r      r r       r
               a = xi + yj + zk .                                  (4.34)
ÒÅÎÐÅÌÀ 4.2. Åñëè áàçèñ îðòîíîðìèðîâàííûé, òî äëÿ ëþáûõ
             r                r
âåêòîðîâ a (x1 , y1 , z1 ) è b (x2 , y2 , z 2 ) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:
                r r
                  ( )
               a , b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .                             (4.35)
                                                                              r   r
     Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ â (4.35) âìåñòî âåêòîðîâ a è b
èõ ðàçëîæåíèÿ (4.34), ïîëó÷èì:
       r r                      r r                    r
         ( ) (      r     r                     r
                                                      )
       a , b = x1i + y1 j + z1k , x2 i + y2 j + z2 k = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
     Òåîðåìà 4.2 ïîçâîëÿåò íàïèñàòü âûðàæåíèå äëèíû âåêòîðà
÷åðåç åãî êîìïîíåíòû â ÏÑÊ:
                              (ar , ar ) = x 2 + y 2 + z 2
èëè
                r
                a = x2 + y 2 + z 2 ,                                       (4.36)
à òàêæå âûðàæåíèå äëÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè
               r r
               a, b
      cos ϕ = r r =
                        ( )
                         x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
              a ⋅b   x + y2 + z2 ⋅ x2 + y2 + z 2 .
                      2
                                1     1    1      2
                                                    (4.37)
                                                          2    2

       Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.36) ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè M 1 (x1 , y1 , z1 ) è
M 2 (x2 , y2 , z2 ) :

                   M 1M 2 =   (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2   .   (4.38)