Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

93
Ìû âèäèì, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ â àë-
ãåáðàè÷åñêîì îòíîøåíèè ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïðîèçâåäå-
íèÿ äâóõ ÷èñåë: èç ðàâåíñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íóëþ óæå íå
âûòåêàåò ðàâåíñòâî íóëþ îäíîãî èç ñîìíîæèòåëåé. Òåì íå ìåíåå
àëãåáðàè÷åñêèå çàêîíû óìíîæåíèÿ ÷èñåë ïîëíîñòüþ ïåðåíîñÿò-
ñÿ íà ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå âåêòîðîâ.
Çàêîíû ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (4.29) ñëåäóåò, ÷òî:
1.
( ) ( )
abba
r
rr
r
,,
=
- çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíîñòè (êîììóòàòèâíîñòè);
2.
( )( ) ( )
()
cabacba
rr
r
rr
r
r
,,,
+=+
- ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí;
3.
( ) ( ) ( )
bababa
r
r
r
r
r
r
λ=λ=λ
,,,
- çàêîí ñî÷åòàòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî
ñêàëÿðíûõ ìíîæèòåëåé;
4.
()
2
0cos,
aaaaa
rrr
o
==
äëÿ ëþáûõ
a
r
;
5.
()
0,
>
aa
rr
, åñëè
O≠a
r
.
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå èìååò ñìûñë, åñëè âûáðàíà åäèíèöà
èçìåðåíèÿ äëèí âåêòîðîâ.
Âåêòîðû îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà
kji
r
rr
,,
óäîâëåòâîðÿþò
ðàâåíñòâàì:
()( )
( )
1,,,
===
kkjjii
rr
rrrr
,
()
()()
0,,,
===
kjkiji
r
r
r
rrr
.
Ïðåäëîæåíèå 9. Åñëè áàçèñíûå âåêòîðû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû,
òî êîìïîíåíòû ëþáîãî âåêòîðà íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå:
332211
eeea
rrrr
α+α+α=
, (4.31)
ãäå
()
2
1
1
1
,
e
ea
r
rr
=α
,
()
2
2
2
2
,
e
ea
r
rr
=α
,
()
2
3
3
3
,
e
ea
r
rr
=α
. (4.32)
                                                                  93
     Ìû âèäèì, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ â àë-
ãåáðàè÷åñêîì îòíîøåíèè ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïðîèçâåäå-
íèÿ äâóõ ÷èñåë: èç ðàâåíñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íóëþ óæå íå
âûòåêàåò ðàâåíñòâî íóëþ îäíîãî èç ñîìíîæèòåëåé. Òåì íå ìåíåå
àëãåáðàè÷åñêèå çàêîíû óìíîæåíèÿ ÷èñåë ïîëíîñòüþ ïåðåíîñÿò-
ñÿ íà ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå âåêòîðîâ.

     Çàêîíû ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ.

      Èç îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (4.29) ñëåäóåò, ÷òî:
   r r      r r
  ( ) ( )
1. a , b = b , a - çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíîñòè (êîììóòàòèâíîñòè);
   r r r         r r
  ( ( )) ( )             r r
2. a , b + c = a , b + (a , c ) - ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí;
      r r       r r   r r
   ( ) ( ) (             )
3. λ a , b = λa , b = a , λb - çàêîí ñî÷åòàòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî
ñêàëÿðíûõ ìíîæèòåëåé;
    r r                   r2          r
4. (a , a ) = aa cos 0o = a äëÿ ëþáûõ a ;
    r r                 r
5. (a , a ) > 0 , åñëè a ≠ O .
       Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå èìååò ñìûñë, åñëè âûáðàíà åäèíèöà
èçìåðåíèÿ äëèí âåêòîðîâ.

                                                     r r r
     Âåêòîðû îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà i , j , k óäîâëåòâîðÿþò
ðàâåíñòâàì:
                                              r r
                       ( ) ( ) ( )
                          r r      r r
                          i , i = j , j = k , k = 1,
                                  r r         r r
                       ( ) ( ) ( )
                          r r
                          i , j = i , k = j,k = 0 .
Ïðåäëîæåíèå 9. Åñëè áàçèñíûå âåêòîðû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû,
òî êîìïîíåíòû ëþáîãî âåêòîðà íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå:
            r     r         r       r
           a = α1e1 + α 2e2 + α 3e3 ,                          (4.31)
ãäå
                (ar, er )           (ar, er )
           α1 = r 21 , α 2 = r 22 , α 3 = r 32 .
                                                     (ar, er )
                  e1                  e2               e3      (4.32)

Страницы