Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

138 Ãëàâà ïÿòàÿ
Âòîðàÿ ëåììà Øóðà.
Ïóñòü
()
()
a
GP
1
è
()
()
a
GP
2
- äâà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóï-
ïû
G
â ïðîñòðàíñòâàõ
1
L è
2
L ðàçìåðíîñòåé
1
s è
2
s , è ïóñòü A - îïå-
ðàòîð, ïåðåâîäÿùèé âåêòîðû èç
2
L â
1
L . Òîãäà, åñëè ïðåäñòàâëåíèÿ
()
()
a
GP
1
è
()
()
a
GP
2
íåýêâèâàëåíòíû è äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ
a
G
ãðóïïû
G
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
()
()
()
()
aa
GAPAGP
21
=
, òî
0=A
,
òî åñòü
A
- íóëåâîé îïåðàòîð.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâ óäîâëåòâîðÿþò óñëî-
âèþ
12
ss ≤ . Òîãäà A ïåðåâîäèò
2
L â ïîäïðîñòðàíñòâî
A
L
íåêîòîðîé
ðàçìåðíîñòè
12
sss
A
≤≤ â ïðîñòðàíñòâå
1
L . Ïîäïðîñòðàíñòâî
A
L
ñî-
ñòîèò èç âåêòîðîâ
Ax
, ãäå x ïðîèçâîëüíûé âåêòîð â
2
L . Îòñþäà ñðàçó
ñëåäóåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî
A
L
èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâà-
íèé ãðóïïû
G
, ïîñêîëüêó
()
()
()
()
aaa
AxxGAPAxGP
==
21
,
è ýòîò âåêòîð ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó
A
L
, òàê êàê âåêòîð
()
()
xGPx
aa
2
=
ïðèíàäëåæèò
2
L . Îäíàêî ïðåäñòàâëåíèå
()
()
a
GP
1
ïî
îïðåäåëåíèþ íåïðèâîäèìî, à ïîýòîìó
1
L íå ìîæåò èìåòü èíâàðèàíòíî-
ãî ïîäïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ, åñëè
òîëüêî
A
L
íå ÿâëÿåòñÿ íóëüìåðíûì ïðîñòðàíñòâîì
()
0
=
A
s
, íè ïîë-
íûì ïðîñòðàíñòâîì
1
L
()
1
ss
A
=
. Èíûìè ñëîâàìè, ìû äîêàçàëè, ÷òî
ëèáî:
1)
0=Ax
äëÿ ëþáûõ x â
2
L , òî åñòü
0=A
, ëèáî
2)
21
sss
A
==
. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà
138                                                                Ãëàâà ïÿòàÿ

      Âòîðàÿ ëåììà Øóðà.
      Ïóñòü    P (1) (Ga ) è P (2 ) (Ga ) - äâà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóï-
ïû G â ïðîñòðàíñòâàõ       L1 è L2 ðàçìåðíîñòåé s1 è s 2 , è ïóñòü A - îïå-
ðàòîð, ïåðåâîäÿùèé âåêòîðû èç         L2 â L1 . Òîãäà, åñëè ïðåäñòàâëåíèÿ
P (1) (Ga ) è P (2 ) (Ga ) íåýêâèâàëåíòíû è äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ Ga ãðóïïû
G âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
      P (1) (Ga )A = AP (2 ) (Ga ) , òî A = 0 ,
òî åñòü    A - íóëåâîé îïåðàòîð.

      Äîêàçàòåëüñòâî.
      Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâ óäîâëåòâîðÿþò óñëî-
âèþ   s 2 ≤ s1 . Òîãäà A ïåðåâîäèò L2 â ïîäïðîñòðàíñòâî L A íåêîòîðîé
ðàçìåðíîñòè     s A ≤ s 2 ≤ s1 â ïðîñòðàíñòâå L1 . Ïîäïðîñòðàíñòâî L A ñî-
ñòîèò èç âåêòîðîâ Ax , ãäå     x ïðîèçâîëüíûé âåêòîð â L2 . Îòñþäà ñðàçó
ñëåäóåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî     L A èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâà-
íèé ãðóïïû G , ïîñêîëüêó
      P (1) (Ga )Ax = AP (2 ) (Ga )x = Ax a ,
è ýòîò âåêòîð ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó                 L A , òàê êàê âåêòîð
x a = P (2 ) (Ga )x ïðèíàäëåæèò L2 . Îäíàêî ïðåäñòàâëåíèå P (1) (Ga ) ïî
îïðåäåëåíèþ íåïðèâîäèìî, à ïîýòîìó L1 íå ìîæåò èìåòü èíâàðèàíòíî-
ãî ïîäïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ, åñëè
òîëüêî     L A íå ÿâëÿåòñÿ íóëüìåðíûì ïðîñòðàíñòâîì (s A = 0) , íè ïîë-
íûì ïðîñòðàíñòâîì       L1 (s A = s1 ) . Èíûìè ñëîâàìè, ìû äîêàçàëè, ÷òî
ëèáî:
      1) Ax = 0 äëÿ ëþáûõ       x â L2 , òî åñòü A = 0 , ëèáî
      2)   s A = s1 = s 2 . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà

Страницы