Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

139Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï
2
ss
A
≤
è óñëîâèÿ
12
ss ≤ .
Âòîðîå óñëîâèå èñêëþ÷àåòñÿ èç çà òîãî, ÷òî
()
()
a
GP
1
è
()
()
a
GP
2
-
íåýêâèâàëåíòíûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Îíî îçíà÷àëî áû, ÷òî
1
L è
2
L èìåþò
îäèíàêîâóþ ðàçìåðíîñòü, îòêóäà ñëåäîâàëî áû ñóùåñòâîâàíèå îïåðàòî-
ðà
1−
A
, îáðàòíîãî îïåðàòîðó
A
, è èç äîïóùåíèÿ
()
()
()
()
aa
GAPAGP
21
=
ñëåäîâàëî áû, ÷òî
()
()
()
()
121
−
=
AGAPGP
aa
,
òî åñòü ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ
()
()
a
GP
1
è
()
()
a
GP
2
ýêâèâàëåíòíû. Îñòà¸ò-
ñÿ çàêëþ÷èòü, ÷òî
0=A
.
 ñëó÷àå
12
ss > äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.  ýòîì ñëó÷àå ñ íåîá-
õîäèìîñòüþ
2
ss
A
< , à ïîýòîìó äîëæíû ñóùåñòâîâàòü âåêòîðû x â
2
L ,
êîòîðûå ïåðåâîäÿòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì A â íóëü, òî åñòü äëÿ êîòîðûõ
0=Ax
. Ïîäïðîñòðàíñòâî ýòèõ âåêòîðîâ â
2
L îáîçíà÷èì ÷åðåç
B
L
; åãî
ðàçìåðíîñòü áóäåò ðàâíà
A
ss
−
2
. Òîãäà ïîäïðîñòðàíñòâî
B
L
îáÿçàíî
áûòü èíâàðèàíòíûì, òàê êàê åñëè
()
()
xGPx
aa
2
=
,
òî
()
()
()
()
0
12
===
AxGPxGAPAx
aaa
,
èç ÷åãî âèäíî, ÷òî
a
x
òîæå ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó
B
L
. Ýòî ïðîòè-
âîðå÷èò óñëîâèþ íåïðèâîäèìîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ
()
2
P
, åñëè òîëüêî íå
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
2
LL
B
= , äðóãèìè ñëîâàìè,
0=Ax
äëÿ âñåõ
âåêòîðîâ x â
2
L . Òàêèì îáðàçîì, ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî
0=A
.
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï                                                              139

s A ≤ s2 è óñëîâèÿ s 2 ≤ s1 .
      Âòîðîå óñëîâèå èñêëþ÷àåòñÿ èç çà òîãî, ÷òî         P (1) (Ga ) è P (2 ) (Ga ) -
íåýêâèâàëåíòíûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Îíî îçíà÷àëî áû, ÷òî L1 è L2 èìåþò
îäèíàêîâóþ ðàçìåðíîñòü, îòêóäà ñëåäîâàëî áû ñóùåñòâîâàíèå îïåðàòî-
ðà   A −1 , îáðàòíîãî îïåðàòîðó A , è èç äîïóùåíèÿ
       P (1) (Ga )A = AP (2 ) (Ga )
ñëåäîâàëî áû, ÷òî
       P (1) (Ga ) = AP (2 ) (Ga )A −1 ,
òî åñòü ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ        P (1) (Ga ) è P (2 ) (Ga ) ýêâèâàëåíòíû. Îñòà¸ò-
ñÿ çàêëþ÷èòü, ÷òî A = 0 .
       ñëó÷àå    s 2 > s1 äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.  ýòîì ñëó÷àå ñ íåîá-
õîäèìîñòüþ      s A < s 2 , à ïîýòîìó äîëæíû ñóùåñòâîâàòü âåêòîðû x â L2 ,
êîòîðûå ïåðåâîäÿòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì   A â íóëü, òî åñòü äëÿ êîòîðûõ
Ax = 0 . Ïîäïðîñòðàíñòâî ýòèõ âåêòîðîâ â L2 îáîçíà÷èì ÷åðåç LB ; åãî
ðàçìåðíîñòü áóäåò ðàâíà s 2 − s A . Òîãäà ïîäïðîñòðàíñòâî            LB îáÿçàíî
áûòü èíâàðèàíòíûì, òàê êàê åñëè
       x a = P (2 ) (Ga )x ,
òî
       Ax a = AP (2 ) (Ga )x = P (1) (Ga )Ax = 0 ,
èç ÷åãî âèäíî, ÷òî     x a òîæå ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó LB . Ýòî ïðîòè-
âîðå÷èò óñëîâèþ íåïðèâîäèìîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ  P (2 ) , åñëè òîëüêî íå
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî LB = L2 , äðóãèìè ñëîâàìè, Ax = 0 äëÿ âñåõ

âåêòîðîâ    x â L2 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî
A = 0.

Страницы