Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 141 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï                                                                         141

îäíî è òî æå ïðåäñòàâëåíèå. Ñëó÷àé, êîãäà                      P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga ) ýêâè-
âàëåíòíû, íî íå ñîâïàäàþò, íå îõâàòûâàåòñÿ äàííûì ðàâåíñòâîì, íî ìû
åãî íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü.
      Ñîäåðæàíèå îáåèõ ëåìì Øóðà ïðè âûáîðå îïåðàòîðà                              A â ôîðìå
(5.9.1) ìîæíî ñâåñòè ê îäíîìó ðàâåíñòâó

                                                   ( )
        g     sβ   sα

       ∑∑∑ P ( ) (G )U
       a =1 m =1 k =1
                          ik
                            α
                                a     km   Pmj(β ) Ga−1 = Aij = λδ αβ δ ij ,         (5.9.3)


ãäå U - ïðîèçâîëüíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà (ìíîæèòåëü                              λ çàâèñèò
îò å¸ âûáîðà).
    Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîáîäîé âûáîðà ìàòðèöû U è ïîëîæèì å¸ ýëå-
ìåíòû ðàâíûìè
       U km = δ kp δ mq ;
äðóãèìè ñëîâàìè, ìû âûáèðàåì ìàòðèöó U , âñå ýëåìåíòû êîòîðîé –
íóëè, êðîìå îäíîãî ýëåìåíòà, ðàñïîëîæåííîãî íà ïåðåñå÷åíèè p -é ñòðî-
êè ñ q -ì ñòîëáöîì, êîòîðûé ïðèíèìàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå. Ïðè òàêîì
âûáîðå, â ôîðìóëå (5.9.3) èñ÷åçíóò äâà çíàêà ñóììèðîâàíèÿ è îñòàíåòñÿ
âûðàæåíèå


       ∑ Pip(α ) (G a )Pqj(β ) (G a−1 ) = λδ αβ δ ij .
        g
                                                                                     (5.9.4)
       a =1

      Âåëè÷èíà λ èìååò ñìûñë ïðè α = β è                       i = j , òîãäà ïðîñóììèðîâàâ
ïî   i îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (5.9.4), ïîëó÷èì

       ∑ ∑ Pip (G a )Pqj (                         ) = λ ∑ 1 = λs
        sα     g                                         sα
                        (α )        (α )
                                           G a−1                    α   ,
       i =1 a =1                                        i =1
îòêóäà
        g

       ∑ Pqp(α )(E ) = λ sα ,
       a =1

ãäå ïîä E ìû ïîíèìàåò òîæäåñòâåííóþ îïåðàöèþ, îáðàçîì êîòîðîé
ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.