Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

142 Ãëàâà ïÿòàÿ
Òàêèì îáðàçîì
α
δ
λ
s
g
pq
=
. (5.9.5)
Ïîäñòàâëÿÿ (5.9.5) â (5.9.4), ïîëó÷èì
()
()
()
()
α
αβ
βα
δδδ
s
g
GPGP
pqij
g
a
aqiaip
=
∑
=
−
1
1
. (5.9.6)
Åñëè ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå
()
β
P óíèòàðíî, òî ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî
()
( )
()
()
()
()
1
1
==
−
EPGPGP
aa
βββ
ìû ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî
()
()
()
()
()
1
1
−
−
=
aa
GPGP
ββ
è åñëè ìàòðèöà
P
óíèòàðíà, òî
()
()
()
()
*
1
ajqaqi
GPGP
ββ
=
−
. (5.9.7)
Ñ ó÷¸òîì (5.9.7) ðàâåíñòâî (5.9.6) ïðèìåò âèä âàæíîãî â äàëüíåé-
øåì ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè
()
()
()
()
α
αβ
βα
δδδ
s
g
GPGP
pqij
g
a
ajqaip
=
∑
=
1
*
. (5.9.8)
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èíäåêñû ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ â
ëåâîé ÷àñòè, âûáðàíû ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíî, à ñóììèðîâàíèå ïðîèç-
âîäèòñÿ òîëüêî ïî ýëåìåíòàì ãðóïïû. Ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè
ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëó÷àåìàÿ ñóììà îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè
α
è
β
- íå-
ýêâèâàëåíòíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, ïðè ýòîì äàæå åñëè ïðåä-
ñòàâëåíèÿ
α
è
β
ñîâïàäàþò, ñóììà îñòà¸òñÿ íóëåâîé ïîêà â ëåâóþ ÷àñòü
âõîäÿò ðàçëè÷íûå ìàòðèöû, òî åñòü åñëè ji ≠ èëè
qp ≠
. Åäèíñòâåí-
íóþ ñèòóàöèþ, ïðè êîòîðîé ñóììà îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè ïðîèçâîëüíûõ
i è p , ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê:
()
()
α
α
s
g
GP
g
a
aip
=
∑
=
1
2
. (5.9.9)
142                                                                           Ãëàâà ïÿòàÿ

      Òàêèì îáðàçîì
              δ pq
      λ=g            .                                                           (5.9.5)
               sα
      Ïîäñòàâëÿÿ (5.9.5) â (5.9.4), ïîëó÷èì
                                                gδ αβ δ ij δ pq
      ∑ Pip(α ) (G a )Pqi(β ) (Ga−1 ) =
       g
                                                                  .              (5.9.6)
      a =1                                            sα

      Åñëè ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå                   P (β ) óíèòàðíî, òî ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî
             ( )
      P (β ) Ga−1 P (β ) (Ga ) = P (β ) (E ) = 1
ìû ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî

             ( ) (
      P (β ) Ga−1 = P (β ) (Ga )        )
                                        −1


è åñëè ìàòðèöà       P óíèòàðíà, òî
             ( )
      Pqi(β ) Ga−1 = Pjq(β ) (Ga ) .
                                  *
                                                                                 (5.9.7)
     Ñ ó÷¸òîì (5.9.7) ðàâåíñòâî (5.9.6) ïðèìåò âèä âàæíîãî â äàëüíåé-
øåì ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè
                                                gδ αβ δ ij δ pq
      ∑ Pip(α ) (G a )Pjq(β ) (Ga )
       g
                                        *
                                            =                         .          (5.9.8)
      a =1                                            sα
     Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èíäåêñû ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ â
ëåâîé ÷àñòè, âûáðàíû ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíî, à ñóììèðîâàíèå ïðîèç-
âîäèòñÿ òîëüêî ïî ýëåìåíòàì ãðóïïû. Ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè
ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëó÷àåìàÿ ñóììà îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè α è β - íå-
ýêâèâàëåíòíûå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, ïðè ýòîì äàæå åñëè ïðåä-
ñòàâëåíèÿ α è β ñîâïàäàþò, ñóììà îñòà¸òñÿ íóëåâîé ïîêà â ëåâóþ ÷àñòü
âõîäÿò ðàçëè÷íûå ìàòðèöû, òî åñòü åñëè i ≠ j èëè p ≠ q . Åäèíñòâåí-
íóþ ñèòóàöèþ, ïðè êîòîðîé ñóììà îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè ïðîèçâîëüíûõ
i è p , ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê:
       g
      ∑ Pip(α ) (Ga )
                         2        g
                             =      .                                            (5.9.9)
      a =1                       sα

Страницы