Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

144 Ãëàâà ïÿòàÿ
§ 5.10. Õàðàêòåðû ïðåäñòàâëåíèé
 §5.6 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äëÿ âñÿêîãî äàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæíî
ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ýêâèâàëåíòíûõ ìàòðè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé
ïóò¸ì èçìåíåíèÿ áàçèñà (ïðåîáðàçîâàíèé ïîäîáèÿ) è âïîëíå ðåçîííî çà-
äàòü ñåáå âîïðîñ: íåëüçÿ ëè îòûñêàòü òàêèå ñâîéñòâà ïðåäñòàâëåíèé, êî-
òîðûå íå çàâèñÿò îò ïðåîáðàçîâàíèé ïîäîáèÿ? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íàèáî-
ëåå ïîäõîäÿùåé äëÿ ýòîé ðîëè ÿâëÿåòñÿ ñóììà âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷å-
íèé, íàçûâàåìàÿ ñëåäîì ìàòðèöû è ðàâíàÿ ñóììå å¸ äèàãîíàëüíûõ ýëå-
ìåíòîâ â ëþáîì áàçèñå. Òàêîé ñëåä ìàòðè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
()
a
GP
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
()
a
G
χ
. Íàáîð ÷èñåë
()
a
G
χ
, ãäå
a
G
ïðîáåãàåò âñå
ýëåìåíòû ãðóïïû, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ
P
è îáîçíà-
÷àåòñÿ ÷åðåç
χ
.
Òîãäà
() ()
∑
=
=χ
s
i
aiia
GPG
1
. (5.10.1)
Ìû ñðàçó æå âèäèì, ÷òî õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ èíâàðèàíòåí ïî
îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ ïîäîáèÿ, òàê êàê èç ðàâåíñòâà
() ()
1
−
=
′
AGAPGP
aa
ñëåäóåò ðàâåíñòâî
() () ()
()
()
()
() ()
.GGPAAGP
AGPAGPG
a
j
aji
jk
kjajk
ijk
kiajkij
i
aiia
χ===
==
′
=χ
′
∑∑
∑∑
−
−
1
1
Ðàññóæäàÿ ïîäîáíûì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî âñå ýëåìåí-
òû îäíîãî è òîãî æå êëàññà
p
E
(§4.8) äîëæíû èìåòü îäèíàêîâûé õàðàê-
òåð
p
χ . Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýëåìåíòû
a
G
è
b
G
ïðèíàä-
ëåæàò îäíîìó è òîìó æå êëàññó, òî åñòü ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (4.8.1)
1−
=
nbna
GGGG
. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ P
144                                                               Ãëàâà ïÿòàÿ

       § 5.10. Õàðàêòåðû ïðåäñòàâëåíèé

     Â §5.6 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äëÿ âñÿêîãî äàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæíî
ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ýêâèâàëåíòíûõ ìàòðè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé
ïóò¸ì èçìåíåíèÿ áàçèñà (ïðåîáðàçîâàíèé ïîäîáèÿ) è âïîëíå ðåçîííî çà-
äàòü ñåáå âîïðîñ: íåëüçÿ ëè îòûñêàòü òàêèå ñâîéñòâà ïðåäñòàâëåíèé, êî-
òîðûå íå çàâèñÿò îò ïðåîáðàçîâàíèé ïîäîáèÿ? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íàèáî-
ëåå ïîäõîäÿùåé äëÿ ýòîé ðîëè ÿâëÿåòñÿ ñóììà âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷å-
íèé, íàçûâàåìàÿ ñëåäîì ìàòðèöû è ðàâíàÿ ñóììå å¸ äèàãîíàëüíûõ ýëå-
ìåíòîâ â ëþáîì áàçèñå. Òàêîé ñëåä ìàòðè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ             P(Ga )
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç        χ (Ga ) . Íàáîð ÷èñåë χ (Ga ) , ãäå Ga ïðîáåãàåò âñå
ýëåìåíòû ãðóïïû, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ             P è îáîçíà-
÷àåòñÿ ÷åðåç χ .
     Òîãäà
                  s
       χ(Ga ) = ∑ Pii (Ga ) .                                        (5.10.1)
                 i =1
    Ìû ñðàçó æå âèäèì, ÷òî õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ èíâàðèàíòåí ïî
îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ ïîäîáèÿ, òàê êàê èç ðàâåíñòâà
       P′(Ga ) = AP (Ga )A−1
ñëåäóåò ðàâåíñòâî

       χ′(Ga ) = ∑ Pii′(Ga ) = ∑ Aij Pjk (Ga )(A−1 )ki =
                      i           ijk

       = ∑ Pjk (Ga )(A−1 A)kj = ∑ Pji (Ga ) = χ(Ga ).
          jk                            j

       Ðàññóæäàÿ ïîäîáíûì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî âñå ýëåìåí-
òû îäíîãî è òîãî æå êëàññà        E p (§4.8) äîëæíû èìåòü îäèíàêîâûé õàðàê-
òåð   χ p . Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýëåìåíòû Ga è Gb ïðèíàä-
ëåæàò îäíîìó è òîìó æå êëàññó, òî åñòü ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (4.8.1)
Ga = Gn GbGn−1 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ P

Страницы