Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 143 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï                                                             143

     Ñîäåðæàùóþñÿ â ñîîòíîøåíèè îðòîãîíàëüíîñòè îïåðàöèþ ñóììè-
ðîâàíèÿ ïî âñåì ãðóïïîâûì ýëåìåíòàì ÷àñòî íàçûâàþò óñðåäíåíèåì ïî
ãðóïïå.
     Òåðìèí «ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè» äëÿ ôîðìóëû (5.9.8) îç-
íà÷àåò, ÷òî â íåêîòîðîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå íåêîå ñêàëÿðíîå ïðî-
èçâåäåíèå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èñïîëüçîâàíèå ýòîãî òåðìèíà ìîæíî îï-
ðàâäàòü òåì, ÷òî åñëè ðàññìàòðèâàòü íàáîð ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ

Pip(α ) (Ga ) äëÿ ôèêñèðîâàííûõ α , à i è p êàê îáîçíà÷åííûå èíäåêñîì
a êîìïîíåíòû âåêòîðà â g -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâå-
äåíèå äâóõ âåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îáû÷íûì îáðà-
çîì, êàê ñóììà ïî êîìïîíåíòàì è ôîðìóëà (5.9.8) êîíñòàòèðóåò îðòîãî-
íàëüíîñòü òàêèõ âåêòîðîâ ñ ðàçíûìè íàáîðàìè èíäåêñîâ α , i è p .
     Âàæíî ïîìíèòü, ÷òî ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ
òîëüêî äëÿ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé.

     Ïðèìåð. Ïîêàçàòü, ÷òî íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ àáåëåâûõ
ãðóïï îäíîìåðíû.


     Ïóñòü   P (α ) (Ga ) - íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå àáåëåâîé ãðóïïû
G . Òàê êàê ïî îïðåäåëåíèþ ýëåìåíòû àáåëåâîé ãðóïïû êîììóòèðóþò,
òî äëÿ ëþáûõ    Ga è Gb èç G èìååì
     P (α ) (Ga )P (α ) (Gb ) = P (α ) (Gb )P (α ) (Ga ) ,

îòêóäà ïî ïåðâîé ëåììå Øóðà ñëåäóåò, ÷òî             P (α ) (Ga ) îòëè÷àåòñÿ îò åäè-
íè÷íîãî îïåðàòîðà ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì, òî åñòü
     P (α ) (Ga ) = λ(aα )1 .

     Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåíèå              P (α ) (Ga ) äëÿ âñåõ Ga ÿâëÿåòñÿ
äèàãîíàëüíûì è ïîýòîìó äîëæíî áûòü ëèáî ïðèâîäèìûì, ëèáî îäíî-
ìåðíûì. Ïåðâîå ïðåäïîëîæåíèå ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ çàäà÷è; ñëåäî-
âàòåëüíî, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ àáåëåâûõ ãðóïï îäíîìåðíû.