Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

146 Ãëàâà ïÿòàÿ
()
()
()
gcG
n
p
pp
g
a
a
=χ=χ
∑∑
=
α
=
α
1
2
1
2
. (5.11.3)
Õàðàêòåðû χ â (5.11.2) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê âåêòîðû ñ
êîìïîíåíòàìè
()
pp
c
χ
2
1
â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè n , ãäå
n - ÷èñëî êëàññîâ â ãðóïïå
G
. Â ýòîì ïðîñòðàíñòâå õàðàêòåðû íåïðèâî-
äèìûõ ïðåäñòàâëåíèé îáðàçóþò íàáîð îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ è, òà-
êèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåä-
ñòàâëåíèé íå ìîæåò ïðåâûøàòü ÷èñëà êëàññîâ ãðóïïû.
Äëÿ èëëþñòðàöèè îðòîãîíàëüíîñòè õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé âîñïîëüçóåìñÿ ïðèìåðîì èç §4.5, ï.6 è §5.3, ï.5. Õàðàêòå-
ðû
()
α
χ
p
äëÿ êàæäîãî êëàññà
p
è êàæäîãî íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëå-
íèÿ α ñâåä¸ì â òàáëèöó 5.11.1, êîòîðàÿ òåïåðü áóäåò ñîäåðæàòü ìåíüøå
ñòîëáöîâ (ïî îäíîìó íà êàæäûé êëàññ, à íå íà êàæäûé ýëåìåíò ãðóïïû).
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ñîîòíîøåíèé îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ õàðàêòåðîâ ñëå-
äóåò íå çàáûâàòü âêëþ÷àòü ÷èñëî
p
c
ãðóïïîâûõ ýëåìåíòîâ â êàæäîì
êëàññå.
Òàáëèöà 5.11.1.
() ( ) ( )
()
()
()
012
111
111
3
2
1
54332121
−
−
P
P
P
R,R,RER,REEE
§5.12. Ïðèâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé ñ ïîìîùüþ
õàðàêòåðîâ ãðóïï
 §§ 5.7 è 5.8 ìû óñòàíîâèëè, êàê â ïðèíöèïå ìîæíî ïðèâåñòè ïðî-
èçâîëüíîå ïðåäñòàâëåíèå P ê åãî íåïðèâîäèìûì ñîñòàâëÿþùèì. Ïðî-
ñóììèðîâàâ äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ïðåäñòàâëåíèÿ
P
ïî ôîð-
ìóëå (5.8.1), ìû óâèäèì, ÷òî õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ
χ
ñâÿçàí ñ õàðàêòå-
146                                                                         Ãëàâà ïÿòàÿ

        g                          n

       ∑ χ (α ) (Ga ) = ∑ c p χ (pα ) = g .
                         2                    2
                                                                              (5.11.3)
       a =1                       p =1

       Õàðàêòåðû     χ â (5.11.2) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê âåêòîðû ñ

                  (c ) χ
                             1
êîìïîíåíòàìè         p
                             2
                                   p   â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè      n , ãäå
n - ÷èñëî êëàññîâ â ãðóïïå G .  ýòîì ïðîñòðàíñòâå õàðàêòåðû íåïðèâî-
äèìûõ ïðåäñòàâëåíèé îáðàçóþò íàáîð îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ è, òà-
êèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåä-
ñòàâëåíèé íå ìîæåò ïðåâûøàòü ÷èñëà êëàññîâ ãðóïïû.
     Äëÿ èëëþñòðàöèè îðòîãîíàëüíîñòè õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé âîñïîëüçóåìñÿ ïðèìåðîì èç §4.5, ï.6 è §5.3, ï.5. Õàðàêòå-
ðû    χ (pα ) äëÿ êàæäîãî êëàññà p è êàæäîãî íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëå-
íèÿ α ñâåä¸ì â òàáëèöó 5.11.1, êîòîðàÿ òåïåðü áóäåò ñîäåðæàòü ìåíüøå
ñòîëáöîâ (ïî îäíîìó íà êàæäûé êëàññ, à íå íà êàæäûé ýëåìåíò ãðóïïû).
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ñîîòíîøåíèé îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ õàðàêòåðîâ ñëå-
äóåò íå çàáûâàòü âêëþ÷àòü ÷èñëî                   c p ãðóïïîâûõ ýëåìåíòîâ â êàæäîì
êëàññå.
                                                                        Òàáëèöà 5.11.1.

                                 E1 (E ) E2 (R1 , R2 ) E3 (R3 , R4 , R5 )
                  (1)
                P                  1          1               1
                P (2 )             1          1             −1
                P (3)              2         −1               0



        §5.12. Ïðèâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé ñ ïîìîùüþ
               õàðàêòåðîâ ãðóïï

        §§ 5.7 è 5.8 ìû óñòàíîâèëè, êàê â ïðèíöèïå ìîæíî ïðèâåñòè ïðî-
èçâîëüíîå ïðåäñòàâëåíèå    P ê åãî íåïðèâîäèìûì ñîñòàâëÿþùèì. Ïðî-
ñóììèðîâàâ äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ïðåäñòàâëåíèÿ P ïî ôîð-
ìóëå (5.8.1), ìû óâèäèì, ÷òî õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ χ ñâÿçàí ñ õàðàêòå-

Страницы