Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

147Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï
ðàìè íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé òàêèì æå ñîîòíîøåíèåì. Åñëè õà-
ðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ P äëÿ ýëåìåíòîâ êëàññà
p
E
îáîçíà÷èòü ÷åðåç
p
χ ,
òî ïîëó÷èì
()
∑
α
α
α
χ=χ
pp
m
, (5.12.1)
ãäå ÷èñëà
α
m ïîêàçûâàþò, ñêîëüêî ðàç â ðàçëîæåíèè ïðåäñòàâëåíèÿ P
âñòðå÷àåòñÿ êàæäîå íåýêâèâàëåíòíîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå
()
α
P .
Åñëè èçâåñòíû õàðàêòåðû ïðåäñòàâëåíèé
()
α
χ
p
, òî ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøå-
íèÿ îðòîãîíàëüíîñòè (5.11.2) è ôîðìóëû (5.12.1), ïîëó÷èì
() () ()
.mgm
g
cm
g
c
g
p
p
*
pp
p
p
*
pp
β
α
αβα
αβ
α
α
β
=δ=
=χχ=χχ
∑
∑∑∑
1
11
(5.12.2)
Ýòî âûðàæåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ õàðàêòåðà
χ
íà õà-
ðàêòåð íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
()
β
χ
àíàëîãè÷íî ôîðìóëå
()
x,ex
i
i
=
äëÿ «êîìïîíåíòû»
β
m õàðàêòåðà χ â íàïðàâëåíèè «âåêòî-
ðà»
()
β
χ
.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ñíîâà îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðó èç §5.3, ï.5
è ðàññìîòðèì òð¸õìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå
P
. Åãî õàðàêòåð ðàâåí (3,0,-1),
ãäå ÷èñëà ñîîòâåòñòâóþò
p
χ
äëÿ òð¸õ êëàññîâ ãðóïïû
3
D è âçÿòû â òîì
æå ïîðÿäêå, â êîòîðîì ýòè êëàññû ðàñïîëîæåíû â òàáëèöå 5.11.1. Çàïè-
ñàâ â îáîçíà÷åíèÿõ òàáëèöû
() ( ) ()
3
3
2
2
1
1
PmPmPmP
⊕⊕=
,
ñ ó÷¸òîì (5.12.2) ïîëó÷èì
()
0303
6
1
1
=−+=
m ,
()
1303
6
1
2
=++=
m ,
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï                                                           147

ðàìè íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé òàêèì æå ñîîòíîøåíèåì. Åñëè õà-
ðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ      P äëÿ ýëåìåíòîâ êëàññà E p îáîçíà÷èòü ÷åðåç χ p ,
òî ïîëó÷èì
      χ p = ∑ m α χ (pα ) ,                                            (5.12.1)
              α

ãäå ÷èñëà   mα ïîêàçûâàþò, ñêîëüêî ðàç â ðàçëîæåíèè ïðåäñòàâëåíèÿ P
âñòðå÷àåòñÿ êàæäîå íåýêâèâàëåíòíîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå              P (α ) .
Åñëè èçâåñòíû õàðàêòåðû ïðåäñòàâëåíèé            χ (pα ) , òî ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøå-
íèÿ îðòîãîíàëüíîñòè (5.11.2) è ôîðìóëû (5.12.1), ïîëó÷èì

      1                    1
        ∑ c p χ (pβ ) χ p = ∑ mα ∑ c p χ (pβ ) χ (pα ) =
                     *                        *

      g p                  g α   p
                                                                       (5.12.2)
                               1
                              = ∑ mα gδαβ = mβ .
                               g α
      Ýòî âûðàæåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ õàðàêòåðà              χ íà õà-
ðàêòåð íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ                 χ (β ) àíàëîãè÷íî ôîðìóëå
x i = (ei , x ) äëÿ «êîìïîíåíòû» mβ õàðàêòåðà χ â íàïðàâëåíèè «âåêòî-
ðà» χ (β ) .  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ñíîâà îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðó èç §5.3, ï.5
è ðàññìîòðèì òð¸õìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå P . Åãî õàðàêòåð ðàâåí (3,0,-1),
ãäå ÷èñëà ñîîòâåòñòâóþò χ p äëÿ òð¸õ êëàññîâ ãðóïïû D3 è âçÿòû â òîì
æå ïîðÿäêå, â êîòîðîì ýòè êëàññû ðàñïîëîæåíû â òàáëèöå 5.11.1. Çàïè-
ñàâ â îáîçíà÷åíèÿõ òàáëèöû
      P = m1 P (1) ⊕ m 2 P (2 ) ⊕ m 3 P (3 ) ,
ñ ó÷¸òîì (5.12.2) ïîëó÷èì

      m1 =
             1
               (3 + 0 − 3) = 0 ,
             6

      m2 =
              1
                (3 + 0 + 3) = 1 ,
              6

Страницы