Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

149Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï
§5.14. ×èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé, ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå
 §5.11 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîé ãðóïïû
G
íå ìîæåò ïðåâûøàòü ÷èñëà êëàññîâ
â ýòîé ãðóïïå. Â ïðèìåðå ãðóïïû
3
D èç òàáëèöû 5.11.1 âèäíî, ÷òî èìå-
åòñÿ òðè íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ. Â ãðóïïå
3
D
èìååòñÿ òîëüêî òðè êëàññà, ÷òî äà¸ò íàì îñíîâàíèå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
()
1
P ,
()
2
P ,
()
3
P - âñå âîçìîæíûå äëÿ ãðóïïû
3
D íåýêâèâàëåíòíûå íå-
ïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Òî÷íîå ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäè-
ìûõ ïðåäñòàâëåíèé æåëàòåëüíî çíàòü çàðàíåå. Ñ ïîìîùüþ äîâîëüíî èñ-
êóññòâåííîãî ïðè¸ìà, çàêëþ÷àþùåãîñÿ â ïîñòðîåíèè ïðåäñòàâëåíèÿ,
ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî ðàâíà ÷èñëó ýëåìåíòîâ ãðóïïû
g
, ìû ïîêàæåì
÷òî îíî âñåãäà ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ â ãðóïïå. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íàçû-
âàåòñÿ ðåãóëÿðíûì è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
()
R
P
.
Ìàòðèöû
()
()
a
R
GP
äàííîãî ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îïðåäåëÿ-
þòñÿ ñîîòíîøåíèåì
()
()
∑
=
c
ca
R
cbba
GGPGG
. (5.14.1)
Ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöû
()
()
a
R
GP
îáðàçóþò ïðåäñòàâëåíèå. Óìíî-
æàÿ îáå ÷àñòè (5.14.1) íà íåêîòîðûé (ïðîèçâîëüíûé) ãðóïïîâîé ýëåìåíò
d
G
, ïîëó÷èì
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
.GGPGP
GGPGP
GGGPGGG
e
ec
a
R
cbd
R
ec
ce
ed
R
eca
R
cb
c
cda
R
cbbad
∑∑
∑∑
∑
=
==
==
Ñ äðóãîé ñòîðîíû
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï                                                    149


      §5.14. ×èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ
             ïðåäñòàâëåíèé, ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå

      §5.11 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîé ãðóïïû G íå ìîæåò ïðåâûøàòü ÷èñëà êëàññîâ
â ýòîé ãðóïïå. Â ïðèìåðå ãðóïïû      D3 èç òàáëèöû 5.11.1 âèäíî, ÷òî èìå-
åòñÿ òðè íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèÿ. Â ãðóïïå          D3
èìååòñÿ òîëüêî òðè êëàññà, ÷òî äà¸ò íàì îñíîâàíèå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
P (1) , P (2 ) , P (3) - âñå âîçìîæíûå äëÿ ãðóïïû D3 íåýêâèâàëåíòíûå íå-
ïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Òî÷íîå ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäè-
ìûõ ïðåäñòàâëåíèé æåëàòåëüíî çíàòü çàðàíåå. Ñ ïîìîùüþ äîâîëüíî èñ-
êóññòâåííîãî ïðè¸ìà, çàêëþ÷àþùåãîñÿ â ïîñòðîåíèè ïðåäñòàâëåíèÿ,
ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî ðàâíà ÷èñëó ýëåìåíòîâ ãðóïïû g , ìû ïîêàæåì
÷òî îíî âñåãäà ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ â ãðóïïå. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íàçû-
âàåòñÿ ðåãóëÿðíûì è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç       P (R ) .
     Ìàòðèöû    P (R ) (Ga ) äàííîãî ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îïðåäåëÿ-
þòñÿ ñîîòíîøåíèåì
     Ga Gb = ∑ Pcb(R ) (Ga )Gc .                                 (5.14.1)
               c

     Ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöû       P (R ) (Ga ) îáðàçóþò ïðåäñòàâëåíèå. Óìíî-
æàÿ îáå ÷àñòè (5.14.1) íà íåêîòîðûé (ïðîèçâîëüíûé) ãðóïïîâîé ýëåìåíò
Gd , ïîëó÷èì

     Gd Ga Gb = ∑ Pcb(R ) (Ga )Gd Gc =
                   c

               = ∑∑ Pcb(R ) (Ga )Pec(R ) (Gd )Ge =
                   c   e

                                               
               = ∑ ∑ Pec(R ) (Gd )Pcb(R ) (Ga )Ge .
                 e  c                          
     Ñ äðóãîé ñòîðîíû

Страницы