Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

150 Ãëàâà ïÿòàÿ
()
()
()
∑
==
e
ead
R
ebbadbad
GGGPGGGGGG
.
Ñðàâíèâàÿ äâà ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
()
()
()
()
()
()
a
R
d
R
ad
R
GPGPGGP
=
(5.14.2)
óñëîâèå (5.1.1), êîòîðûì îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ïðîèçâåäåíèå
ba
GG
òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ãðóïïû, ñóììà â ïðàâîé
÷àñòè ðàâåíñòâà (5.14.1) ñîäåðæèò òîëüêî îäèí ÷ëåí. Òàêèì îáðàçîì, ïðè
äàííûõ
a
è
b
âñå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû
()
()
a
R
cb
GP
îáðàùàþòñÿ â íóëü,
êðîìå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîìó çíà÷åíèþ c , êîòîðûé ðàâåí 1. Òàêèì
îáðàçîì, âñå ñòîëáöû ìàòðèöû
()
()
a
R
GP
èç íóëåé è îäíîé åäèíèöû è
ýòà åäèíèöà áóäåò ðàñïîëàãàòüñÿ íà äèàãîíàëè òîëüêî òîãäà, êîãäà
a
G
åñòü åäèíè÷íûé ýëåìåíò E . Õàðàêòåðû ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áó-
äóò ðàâíû íóëþ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ, êðîìå åäèíè÷íîãî, äëÿ êîòîðîãî
õàðàêòåð ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ g , òî åñòü
()
()
0
=χ
a
R
G
, EG
a
≠ ,
()
()
gE
R
=χ
. (5.14.3)
Ñ ó÷¸òîì (5.12.2) è (5.14.3) ïîëó÷èì
()
()
()
()
()
()
α
αα
α
=χ=χχ=
∑
sEg
g
GG
g
m
a
a
R
*
a
11
, (5.14.4)
ãäå
α
s - ðàçìåðíîñòü íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
()
α
P
.
Òàêèì îáðàçîì, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ
()
α
P
âñòðå÷àþòñÿ â
ðàçëîæåíèè ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñòîëüêî ðàç, êàêîâà åãî ðàçìåð-
íîñòü
α
s , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå äîëæíî ñîäåð-
æàòü âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ.
Ïðèðàâíÿâ ðàçìåðíîñòü
g
ïðåäñòàâëåíèÿ
()
R
P
ñóììàðíîé ðàçìåð-
íîñòè åãî ñîñòàâëÿþùèõ, ïîëó÷èì âàæíûé äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé
ðåçóëüòàò
∑∑
α
α
α
αα
==
2
ssmg . (5.14.5)
Ñîîòíîøåíèå (5.14.4) îòíîñèòñÿ ê ðåãóëÿðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, à ôîð-
150                                                                          Ãëàâà ïÿòàÿ

        Gd Ga Gb = (Gd Ga )Gb = ∑ Peb(R ) (Gd Ga )Ge .
                                         e
       Ñðàâíèâàÿ äâà ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
        P (R ) (Gd Ga ) = P (R ) (Gd )P (R ) (Ga )                             (5.14.2)
óñëîâèå (5.1.1), êîòîðûì îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ïðîèçâåäåíèå         Ga Gb òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ãðóïïû, ñóììà â ïðàâîé
÷àñòè ðàâåíñòâà (5.14.1) ñîäåðæèò òîëüêî îäèí ÷ëåí. Òàêèì îáðàçîì, ïðè
äàííûõ a è b âñå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû  Pcb(R ) (Ga ) îáðàùàþòñÿ â íóëü,
êðîìå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîìó çíà÷åíèþ c , êîòîðûé ðàâåí 1. Òàêèì
îáðàçîì, âñå ñòîëáöû ìàòðèöû                 P (R ) (Ga ) èç íóëåé è îäíîé åäèíèöû è
ýòà åäèíèöà áóäåò ðàñïîëàãàòüñÿ íà äèàãîíàëè òîëüêî òîãäà, êîãäà                     Ga
åñòü åäèíè÷íûé ýëåìåíò E . Õàðàêòåðû ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áó-
äóò ðàâíû íóëþ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ, êðîìå åäèíè÷íîãî, äëÿ êîòîðîãî
õàðàêòåð ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ g , òî åñòü

        χ (R ) (Ga ) = 0 , Ga ≠ E , χ (R ) (E ) = g .                          (5.14.3)
       Ñ ó÷¸òîì (5.12.2) è (5.14.3) ïîëó÷èì

                       χ (α ) (Ga ) χ (R ) (Ga ) = gχ (α ) (E ) = sα ,
                   1                              1
        mα =         ∑
                   g a
                                   *

                                                  g
                                                                               (5.14.4)


ãäå   sα - ðàçìåðíîñòü íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ P (α ) .
                                                                      (α )
     Òàêèì îáðàçîì, íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ P âñòðå÷àþòñÿ â
ðàçëîæåíèè ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñòîëüêî ðàç, êàêîâà åãî ðàçìåð-
íîñòü    sα , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå äîëæíî ñîäåð-
æàòü âñå íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ.
                                                               (R )
     Ïðèðàâíÿâ ðàçìåðíîñòü g ïðåäñòàâëåíèÿ P ñóììàðíîé ðàçìåð-
íîñòè åãî ñîñòàâëÿþùèõ, ïîëó÷èì âàæíûé äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé
ðåçóëüòàò
        g = ∑ mα sα = ∑ sα2 .                                                  (5.14.5)
               α               α
       Ñîîòíîøåíèå (5.14.4) îòíîñèòñÿ ê ðåãóëÿðíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, à ôîð-

Страницы