Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

148 Ãëàâà ïÿòàÿ
()
1006
6
1
3
=++=
m .
Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå P ïðèâîäèòñÿ ê ñóì-
ìå ïðåäñòàâëåíèé
()
2
P
è
()
3
P
. Ýòî ïî÷òè î÷åâèäíî, òàê êàê òàêîå ðàçëî-
æåíèå ñëåäóåò èç ñàìîãî âèäà ìàòðèö. Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíû
α
m äîë-
æíû áûòü öåëûìè ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè èëè íóëÿìè.
§5.13. Êðèòåðèé íåïðèâîäèìîñòè
Ïî õàðàêòåðó ïðåäñòàâëåíèé ìîæíî ñóäèòü, ïðèâîäèìî îíî èëè íåò.
 §5.11 ìû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè ïðåäñòàâëåíèå χ íåïðèâîäèìî, òî
gc
p
pp
=χ
∑
2
. (5.13.1)
ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âûïîëíÿåòñÿ (5.13.1), òî ïðåäñòàâëåíèå
χ
íåïðèâîäèìî, òî åñòü (5.13.1)  åñòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëî-
âèå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî îáúåäèíèì ðàâåíñòâà (5.11.1)-(5.11.3) â
ñîîòíîøåíèå
() ()
∑∑∑
α
α
αβ
βα
βα
=χχ=χ
2
2
mgmmcc
p
*
ppp
p
pp
. (5.13.2)
Îòñþäà ñëåäóåò, åñëè ñïðàâåäëèâî óñëîâèå (5.13.1), òî 1
2
=
∑
α
α
m , à
òàê êàê âñå
α
m öåëûå, òî âñå ÷èñëà
α
m ðàâíû íóëþ, êðîìå îäíîãî èç íèõ,
êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç
γ
m , òàêîå, ÷òî 1=
γ
m . Òàêèì îáðàçîì ìû
âèäèì, ÷òî
()
γ
=
PP , êîòîðîå åñòü íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äâóìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå
()
3
P
ãðóïïû
3
D íåïðèâîäèìî, òàê êàê èç òàáëèöû 5.11.1 ñëåäóåò
()
gc
p
pp
==++=χ
∑
6024
2
.
148                                                                               Ãëàâà ïÿòàÿ


      m3 =
               1
                 (6 + 0 + 0) = 1 .
               6
      Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå                          P ïðèâîäèòñÿ ê ñóì-
                                    (2 )       (3)
ìå ïðåäñòàâëåíèé                           è
                         P . Ýòî ïî÷òè î÷åâèäíî, òàê êàê òàêîå ðàçëî-
                              P
æåíèå ñëåäóåò èç ñàìîãî âèäà ìàòðèö. Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíû mα äîë-
æíû áûòü öåëûìè ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè èëè íóëÿìè.


      §5.13. Êðèòåðèé íåïðèâîäèìîñòè

      Ïî õàðàêòåðó ïðåäñòàâëåíèé ìîæíî ñóäèòü, ïðèâîäèìî îíî èëè íåò.
 §5.11 ìû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè ïðåäñòàâëåíèå χ íåïðèâîäèìî, òî

      ∑c
                         2
              p    χp        = g.                                                     (5.13.1)
       p

ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âûïîëíÿåòñÿ (5.13.1), òî ïðåäñòàâëåíèå
χ íåïðèâîäèìî, òî åñòü (5.13.1) – åñòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëî-
âèå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî îáúåäèíèì ðàâåíñòâà (5.11.1)-(5.11.3) â
ñîîòíîøåíèå

      ∑c          χ p = ∑ c p mα mβ χ (pα )χ (pβ ) = g ∑ mα2 .
                     2                                      *
           p                                                                          (5.13.2)
       p                      αβp                                 α


      Îòñþäà ñëåäóåò, åñëè ñïðàâåäëèâî óñëîâèå (5.13.1), òî                      ∑m
                                                                                  α
                                                                                       2
                                                                                       α   = 1, à

òàê êàê âñå    mα öåëûå, òî âñå ÷èñëà mα ðàâíû íóëþ, êðîìå îäíîãî èç íèõ,
êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç                           mγ , òàêîå, ÷òî mγ = 1 . Òàêèì îáðàçîì ìû
                             (γ )
âèäèì, ÷òî P = P , êîòîðîå åñòü íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå.
     êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äâóìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå
P (3 ) ãðóïïû D3 íåïðèâîäèìî, òàê êàê èç òàáëèöû 5.11.1 ñëåäóåò

      ∑c                     = (4 + 2 + 0 ) = 6 = g .
                         2
              p    χp
       p

Страницы