Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 151 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï                                                               151

ìà (5.14.5) âûðàæàåò îáùåå ñâîéñòâî ãðóïïû, à èìåííî òî, ÷òî ñóììà êâàä-
ðàòîâ ðàçìåðíîñòåé âñåõ âîçìîæíûõ íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåä-
ñòàâëåíèé ãðóïïû ðàâíà ÷èñëó å¸ ýëåìåíòîâ. Òåïåðü íà îñíîâàíèè ðàâåí-
ñòâà (5.14.5) ìû ìîæåì äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäè-
ìûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ ýòîé ãðóïïû.
     Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû                Pij(α ) (Ga ) ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê êîìïîíåíòû íåêîòîðîãî íàáîðà âçàèìíî îðòîãîíàëü-
íûõ âåêòîðîâ        Pij(α ) â g -ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñ áàçèñîì e1 ,e2 ,...,eg .
Îáùåå ÷èñëî òàêèõ âåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè èí-
äåêñîâ   i , j ,α è ðàâíî   ∑s α
                                   2
                                   α   ïî âñåì íåýêâèâàëåíòíûì íåïðèâîäèìûì

ïðåäñòàâëåíèÿì è, êàê òîëüêî ÷òî áûëî ïîêàçàíî, ýòà ñóììà ðàâíà                    g.
Òàêèì îáðàçîì ÷èñëî îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ                 Pij(α ) ðàâíî ðàçìåðíîñòè

ïðîñòðàíñòâà è, ñòàëî áûòü, âåêòîðû             Pij(α ) äîëæíû îáðàçîâàòü ïðîñòðàí-
ñòâî. Ëþáîé âåêòîð        x â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ              Pij(α ) :

     x = ∑ c (αij )Pij(α ) ,                                               (5.14.6)
            αij

à åãî êîìïîíåíòû       xa â áàçèñå e1 ,e2 ,...,eg â âèäå

     xa = ∑ c (α j )Pij(α ) (Ga ) .                                        (5.14.7)
             αij

     Âûäåëèì òîëüêî òå âåêòîðû     x , êîòîðûå èìåþò îäèíàêîâûå «ïðî-
åêöèè» íà âñå «íàïðàâëåíèÿ» e1 ,e2 ,...,eg ; îíè ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàì

îäíîãî è òîãî æå êëàññà ãðóïïû G , òî åñòü            xc = xa , åñëè Gc = Gb−1Ga Gb
äëÿ ëþáîãî        Gb èç G . Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü
             1 g
     xa =      ∑ xc =
             g b=1