Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

153Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï
ãäå n - ÷èñëî êëàññîâ, à òàêæå ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé. Èç ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè (5.11.1), (5.11.2) ñëå-
äóåò, ÷òî ïðè ëþáûõ α è
β
1=
∑
αβ
p
*
pp
BB
(5.15.2)
èëè, â ìàòðè÷íîé ôîðìå, 1=
+
BB . Ïîñêîëüêó ìàòðèöà B êâàäðàòíàÿ,
òî ìîäóëü å¸ äåòåðìèíàíòà ðàâåí åäèíèöå è ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðè-
öà
1−
B è
+−
=
BB
1
, è 1=
+
BB , ÷òî äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îçíà÷àåò
pqq
*
p
BB
δ=
∑
α
αα
. (5.15.3)
Âåðíóâøèñü ê õàðàêòåðàì ãðóïïû, ïîëó÷èì
() ()
pq
p
q
*
p
c
g
δ=χχ
∑
α
αα
, (5.15.4)
òî åñòü ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ñòîëáöîâ òàáëèöû õàðàêòåðîâ.
§5.16. Ïîñòðîåíèå òàáëèöû õàðàêòåðîâ
Âûïèøåì ñâîéñòâà õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé:
1. ×èñëî íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ.
2. Ðàçìåðíîñòü
α
s íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé äîëæíà óäîâëåò-
âîðÿòü ðàâåíñòâó gs =
∑
α
α
2
, êîòîðîå âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ äà¸ò äëÿ
α
s
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî õàðàêòåð åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà E
ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ, ÷èñëà â ïåðâîì ñòîëáöå òàáëèöû õà-
ðàêòåðîâ  ýòî ïðîñòî öåëûå ÷èñëà
α
s .
3. Äëÿ êàæäîé ãðóïïû ñóùåñòâóåò îäíîìåðíîå òîæäåñòâåííîå ïðåä-
ñòàâëåíèå, äëÿ êîòîðîãî
()
1
=
a
GP
è, ñëåäîâàòåëüíî,
()
1
=
a
G
χ
. Ýòèì
îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâàÿ ñòðîêà òàáëèöû õàðàêòåðîâ.
4. Ñòðîêè âçàèìíî îðòîãîíàëüíû ñ âåñàìè
p
c
è íîðìèðîâàíû ê
g
, òî åñòü
Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï                                                              153

ãäå n - ÷èñëî êëàññîâ, à òàêæå ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèé. Èç ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè (5.11.1), (5.11.2) ñëå-
äóåò, ÷òî ïðè ëþáûõ            αèβ

       ∑B
        p
            βp     Bα* p = 1                                               (5.15.2)

                                            +
èëè, â ìàòðè÷íîé ôîðìå, BB = 1 . Ïîñêîëüêó ìàòðèöà B êâàäðàòíàÿ,
òî ìîäóëü å¸ äåòåðìèíàíòà ðàâåí åäèíèöå è ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðè-
öà   B −1 è B −1 = B + , è B + B = 1 , ÷òî äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îçíà÷àåò
       ∑B
        α
              *
              αp   Bαq = δ pq .                                            (5.15.3)

       Âåðíóâøèñü ê õàðàêòåðàì ãðóïïû, ïîëó÷èì
                               g
       ∑ χ( ) χ( ) = c
        α
              α*
              p       q
                       α
                                   δ pq ,                                  (5.15.4)
                               p

òî åñòü ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ñòîëáöîâ òàáëèöû õàðàêòåðîâ.


        §5.16. Ïîñòðîåíèå òàáëèöû õàðàêòåðîâ

       Âûïèøåì ñâîéñòâà õàðàêòåðîâ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé:
       1. ×èñëî íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ.
       2. Ðàçìåðíîñòü sα íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé äîëæíà óäîâëåò-

âîðÿòü ðàâåíñòâó           ∑ sα2 = g , êîòîðîå âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ äà¸ò äëÿ        sα
                           α

åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî õàðàêòåð åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà E
ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ, ÷èñëà â ïåðâîì ñòîëáöå òàáëèöû õà-
ðàêòåðî⠖ ýòî ïðîñòî öåëûå ÷èñëà sα .
     3. Äëÿ êàæäîé ãðóïïû ñóùåñòâóåò îäíîìåðíîå òîæäåñòâåííîå ïðåä-
ñòàâëåíèå, äëÿ êîòîðîãî              P(Ga ) = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, χ (Ga ) = 1 . Ýòèì
îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâàÿ ñòðîêà òàáëèöû õàðàêòåðîâ.
       4. Ñòðîêè âçàèìíî îðòîãîíàëüíû ñ âåñàìè                c p è íîðìèðîâàíû ê
g , òî åñòü

Страницы