Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 155 стр.

Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï                                                                      155

ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì çàäàíî íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå. Ó÷èòû-
âàÿ, ÷òî êîíå÷íîé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ïðèëîæåíèé òåîðèè ñèììåò-
ðèè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ìû â êà÷åñòâå áàçèñíûõ âåêòîðîâ ðàññìîò-
                (α )                (α )
ðèì ôóíêöèè ψ i ïðåäñòàâëåíèÿ P          (§5.3, ï.7). Àðãóìåíò ôóíêöèè

ψ i(α ) ìû äëÿ êðàòêîñòè îïóñêàåì, i = 1,..., sα .
      Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì èíâàðèàíòíîå ôóíêöèîíàëüíîå ïðî-
ñòðàíñòâî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ åù¸ è íåïðèâîäèìûì, òàê ÷òî ïðåäñòàâëå-
íèå, èíäóöèðîâàííîå â í¸ì íåêîòîðûìè ãðóïïîâûìè îïåðàöèÿìè, ÿâëÿ-
åòñÿ íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèåì.  ýòîì ñëó÷àå ìû âïðàâå âîñïîëü-
çîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè îðòîãîíàëüíîñòè íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé
(5.9.8), ÷òîáû óñòàíîâèòü îðòîãîíàëüíîñòü áàçèñíûõ ôóíêöèé, ïðèíàä-
ëåæàùèõ äâóì íåýêâèâàëåíòíûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì.
                       (α )
      Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ i ïðåîáðàçóåòñÿ ïî i -îé ñòðîêå íåïðèâîäèìîãî

ïðåäñòàâëåíèÿ            P (α ) , äðóãèìè ñëîâàìè,
      P(Ga )ϕ i(α ) = ∑ Pli(α ) (Ga )ϕ l(α ) ,                                     (5.17.1)
                              l

                           (β )
è ïóñòü ôóíêöèÿ ψ j               ïðåîáðàçóåòñÿ ïî          j -îé ñòðîêå íåïðèâîäèìîãî ïðåä-
                (β )
ñòàâëåíèÿ P . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì îïðåäåëåíèè ñêàëÿð-
íîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïðèìåíÿåìîì êî âñåì ðàññìàòðèâàåìûì ôóíêöèÿì,
îïåðàòîðû       P(Ga ) óíèòàðíû, òî åñòü äëÿ âñÿêîãî ýëåìåíòà Ga ãðóïïû

      (ϕ ( ) ψ ( ) )= (P(G )ϕ ( ) P(G )ψ ( ) )=
        i
            α
                 j
                     β
                                    a      i
                                               α
                                                        a   j
                                                             β


                    = ∑ P ( ) (G )P ( ) (G )(ϕ ( ) ψ ( ) ).
                                    li
                                         α *
                                                   a
                                                        β
                                                       mj   a    l
                                                                     α
                                                                         m
                                                                          β

                             l ,m

ïðåäïîëàãàÿ äàëåå, ÷òî áàçèñíûå âåêòîðû êàæäîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âûá-
ðàíû îðòîíîðìèðîâàííûìè, ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì
îðòîãîíàëüíîñòåé (5.9.8) è óñðåäíÿÿ ïî âñåì ãðóïïîâûì ýëåìåíòàì ïî-
ëó÷èì