Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

157Àëãåáðû Ëè
Ãëàâà VI
Àëãåáðû Ëè
 ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü óðàâíåíèÿ íà
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:
λψψ
=
L
, (*)
ãäå
L
- ëèíåéíûé îïåðàòîð, êàê ïðàâèëî, èíòåãðàëüíûé èëè äèôôåðåí-
öèàëüíûé (îïåðàòîð Ëàïëàñà, îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà). Åñëè íåêîòîðûé
îïåðàòîð
F
ïåðåñòàíîâî÷íûé ñ
L
, òî åãî èçó÷åíèå äà¸ò îáû÷íî ãëóáî-
êóþ èíôîðìàöèþ î ñîáñòâåííûõ âåêòîðàõ îïåðàòîðà L . Åñëè îïåðàòî-
ðû
21
,
FF ïåðåñòàíîâî÷íû ñ L , òî ýòèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàþò èõ ïðî-
èçâåäåíèå è ïðîèçâîëüíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.  òàêîì ñëó÷àå ãîâî-
ðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ îïåðàòîðîâ, ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñ L , îáðàçóåò
àëãåáðó, êîòîðàÿ íîñèò íàçâàíèå êîììóòàòîðíîé àëãåáðû îïåðàòîðà L .
Åñëè îïåðàòîð F - ýëåìåíò êîììóòàòîðíîé àëãåáðû è
ψ
- ðåøåíèå (*),
ìû ìîæåì íàïèñàòü:
() ()
ψλψψ
FFLFL
==
. (**)
Ìû âèäèì, ÷òî âåêòîð
ψ
F òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì
îòíîñèòåëüíî L , ñ òåì æå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ÷òî è
ψ
. Ýòî îçíà÷à-
åò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíè-
åì
λ
èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî F è, ñëåäîâàòåëüíî, èíâàðèàíòíî òàê-
æå ïî îòíîøåíèþ êî âñåé êîììóòàòîðíîé àëãåáðå îïåðàòîðà L .
Åñëè H - îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå è F - îïå-
ðàòîð ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, çàâèñÿùåé îò âðåìåíè, òî ýòà çàâèñèìîñòü
ìîæåò áûòü âûðàæåíà óðàâíåíèåì HFFH
t
F
−=
∂
∂
. Òîãäà, åñëè
F
ïå-
Àëãåáðû Ëè                                                          157




           Ãëàâà VI
           Àëãåáðû Ëè
      ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü óðàâíåíèÿ íà
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:
     Lψ = λψ ,                                               (*)
ãäå L - ëèíåéíûé îïåðàòîð, êàê ïðàâèëî, èíòåãðàëüíûé èëè äèôôåðåí-
öèàëüíûé (îïåðàòîð Ëàïëàñà, îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà). Åñëè íåêîòîðûé
îïåðàòîð   F ïåðåñòàíîâî÷íûé ñ L , òî åãî èçó÷åíèå äà¸ò îáû÷íî ãëóáî-
êóþ èíôîðìàöèþ î ñîáñòâåííûõ âåêòîðàõ îïåðàòîðà L . Åñëè îïåðàòî-
ðû F1 , F2 ïåðåñòàíîâî÷íû ñ L , òî ýòèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàþò èõ ïðî-
èçâåäåíèå è ïðîèçâîëüíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.  òàêîì ñëó÷àå ãîâî-
ðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ îïåðàòîðîâ, ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñ   L , îáðàçóåò
àëãåáðó, êîòîðàÿ íîñèò íàçâàíèå êîììóòàòîðíîé àëãåáðû îïåðàòîðà L .
Åñëè îïåðàòîð F - ýëåìåíò êîììóòàòîðíîé àëãåáðû è ψ - ðåøåíèå (*),
ìû ìîæåì íàïèñàòü:
     L(Fψ ) = FLψ = λ (Fψ ) .                                (**)
     Ìû âèäèì, ÷òî âåêòîð   Fψ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì
îòíîñèòåëüíî L , ñ òåì æå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ÷òî è ψ . Ýòî îçíà÷à-
åò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíè-
åì λ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî F è, ñëåäîâàòåëüíî, èíâàðèàíòíî òàê-
æå ïî îòíîøåíèþ êî âñåé êîììóòàòîðíîé àëãåáðå îïåðàòîðà L .
     Åñëè H - îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå è F - îïå-
ðàòîð ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, çàâèñÿùåé îò âðåìåíè, òî ýòà çàâèñèìîñòü
                                  ∂F
ìîæåò áûòü âûðàæåíà óðàâíåíèåì       = FH − HF . Òîãäà, åñëè F ïå-
                                  ∂t

Страницы