Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

156 Ãëàâà ïÿòàÿ
() ()
()
()
()
()
()
() ()
()
() ()
()
.
1
1
,,
*
∑
∑
=
==
l
m
l
ij
ml
m
l
amja
li
ji
s
GPGP
g
αα
αβ
α
α
βαβαβα
ψϕδδ
ψϕψϕ
(5.17.2)
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáûå äâå ôóíêöèè, ïðåîáðàçóþùèåñÿ ïî óíèòàð-
íûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì, âçàèìíî îðòîãîíàëüíû, åñëè òîëü-
êî íå ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîé æå ñòðîêå îäíîãî è òîãî æå íåïðèâîäè-
ìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.Çíà÷åíèå ýòîãî âàæíîãî ðåçóëüòàòà çàêëþ÷àåòñÿ íå
ñòîëüêî âî âçàèìíîé îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñíûõ ôóíêöèé îäíîãî è òîãî
æå íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (ìíîæèòåëü
ij
δ
ïðè
ψϕ
≡ ), òàê êàê ýòî
â ïðèíöèïå âîïðîñ âûáîðà ôóíêöèé, ñêîëüêî â îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñíûõ
ôóíêöèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçíûì ñòðîêàì ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé
èëè ê íåýêâèâàëåíòíûì ïðåäñòàâëåíèÿì (ìíîæèòåëü
αβ
δ
). Ïîñëåäíèé ðå-
çóëüòàò ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà â êàæäîì èç ïðåäñòàâëå-
íèé. Èç ðàâåíñòâà (5.17.2) ñëåäóåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
() ()
( )
αα
ψϕ
ii
íå çàâèñèò îò i - â ÷àñòíîñòè, ôóíêöèè
()
α
ϕ
i
äëÿ äàííîãî
α
, óäîâëåòâîðÿ-
þùèå óñëîâèþ (5.17.1), èìåþò îäèíàêîâóþ íîðìó.
Îäíèì èç îñîáûõ ñëåäñòâèé èç ñîîòíîøåíèÿ (5.17.2) ÿâëÿåòñÿ òî îá-
ñòîÿòåëüñòâî, ÷òî åñëè
()
α
P
- òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå, òî äàííîå ñêà-
ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáðàùàåòñÿ â íóëü äëÿ âñåõ ïðåäñòàâëåíèé
()
β
P
, êðî-
ìå òîæäåñòâåííîãî. Åñëè ïîä ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ïîíèìàòü èíòåã-
ðèðîâàíèå ïî êîîðäèíàòàì è ïîëîæèòü
()
1=
α
ϕ
i
(ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ),
ìû ïîëó÷èì
()
0
=
∫
dV
j
β
ψ
, (5.17.3)
åñëè òîëüêî
()
β
P
íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì. Ýòî îçíà-
÷àåò, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ èíâàðèàíòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôóíêöèè, ïðåîáðà-
çóþùàÿñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ, îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè òîëü-
êî ñàìà ôóíêöèÿ íå èíâàðèàíòíà. Òàê êàê ëþáóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàçëî-
æèòü íà íåïðèâîäèìûå êîìïîíåíòû, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëå èíòåãðèðîâà-
íèÿ èç âñåõ êîìïîíåíò îñòàíóòñÿ òîëüêî èíâàðèàíòíûå.
156                                                                                         Ãëàâà ïÿòàÿ


      (ϕ ( ) ψ ( ) )= g1 ∑ P ( ) (G )P ( ) (G )(ϕ ( ) ψ ( ) )=
        i
            α
                    j
                        β
                                          li
                                               α *
                                                         a
                                                              β
                                                             mj      a    l
                                                                              α
                                                                                  m
                                                                                   β

                                α ,l ,m
                                                                                               (5.17.2)
                                                     (
                            = δ αβ δ ij ∑ ϕ l(α ) ψ m(α ) .
                              1
                             sα
                                                                     )
                                        l

     Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáûå äâå ôóíêöèè, ïðåîáðàçóþùèåñÿ ïî óíèòàð-
íûì íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì, âçàèìíî îðòîãîíàëüíû, åñëè òîëü-
êî íå ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîé æå ñòðîêå îäíîãî è òîãî æå íåïðèâîäè-
ìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.Çíà÷åíèå ýòîãî âàæíîãî ðåçóëüòàòà çàêëþ÷àåòñÿ íå
ñòîëüêî âî âçàèìíîé îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñíûõ ôóíêöèé îäíîãî è òîãî
æå íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (ìíîæèòåëü δ ij ïðè ϕ                                   ≡ ψ ), òàê êàê ýòî
â ïðèíöèïå âîïðîñ âûáîðà ôóíêöèé, ñêîëüêî â îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñíûõ
ôóíêöèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçíûì ñòðîêàì ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé
èëè ê íåýêâèâàëåíòíûì ïðåäñòàâëåíèÿì (ìíîæèòåëü δ αβ ). Ïîñëåäíèé ðå-
çóëüòàò ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà â êàæäîì èç ïðåäñòàâëå-

íèé. Èç ðàâåíñòâà (5.17.2) ñëåäóåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå                              (ϕ ( ) ψ ( ) )
                                                                                               i
                                                                                                   α
                                                                                                       i
                                                                                                           α


íå çàâèñèò îò i - â ÷àñòíîñòè, ôóíêöèè                       ϕ i(α ) äëÿ äàííîãî α , óäîâëåòâîðÿ-
þùèå óñëîâèþ (5.17.1), èìåþò îäèíàêîâóþ íîðìó.
    Îäíèì èç îñîáûõ ñëåäñòâèé èç ñîîòíîøåíèÿ (5.17.2) ÿâëÿåòñÿ òî îá-
ñòîÿòåëüñòâî, ÷òî åñëè          P (α ) - òîæäåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå, òî äàííîå ñêà-
                                                               (β )
ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáðàùàåòñÿ â íóëü äëÿ âñåõ ïðåäñòàâëåíèé P      , êðî-
ìå òîæäåñòâåííîãî. Åñëè ïîä ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ïîíèìàòü èíòåã-

ðèðîâàíèå ïî êîîðäèíàòàì è ïîëîæèòü                               ϕ i(α ) = 1 (ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ),
ìû ïîëó÷èì
            (β )
      ∫ψ j         dV = 0 ,                                                                    (5.17.3)

åñëè òîëüêî P
               (β ) íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì. Ýòî îçíà-
÷àåò, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ èíâàðèàíòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôóíêöèè, ïðåîáðà-
çóþùàÿñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ, îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè òîëü-
êî ñàìà ôóíêöèÿ íå èíâàðèàíòíà. Òàê êàê ëþáóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàçëî-
æèòü íà íåïðèâîäèìûå êîìïîíåíòû, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëå èíòåãðèðîâà-
íèÿ èç âñåõ êîìïîíåíò îñòàíóòñÿ òîëüêî èíâàðèàíòíûå.

Страницы