Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

158 Ãëàâà øåñòàÿ
ðåñòàíîâî÷åí ñ H , òî 0=
∂
∂
t
F
. Òàêèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû èãðàþò ðîëü
ñîõðàíÿþùèõñÿ «èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ» (ýíåðãèÿ, çàðÿä, ìîìåíò èìïóëü-
ñà) è èãðàþò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â èçó÷åíèè ïîâåäåíèÿ ôèçè-
÷åñêèõ ñèñòåì.
Îòìåòèì, òàê æå, ÷òî âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ êîììóòàòîðíîé àëãåá-
ðîé, ìîãóò áûòü ïîëîæåíû â îñíîâó òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé; â ÷àñòíîñòè,
îíè ïîçâîëÿþò ðàñêðûòü îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîíÿ-
òèåì íåïðèâîäèìîñòè.
 äàííîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì êîììóòàòîðíóþ àëãåáðó Ëè â íå-
ñêîëüêî èçìåí¸ííîì âèäå, ÷òî ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ èñïîëüçîâà-
íèÿ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ.
§6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáùèå ñâîéñòâà
Äëÿ ëþáûõ äâóõ îïåðàòîðîâ
BA,
â ïðîñòðàíñòâå
()
nC ìîæíî
ñîñòàâèòü èõ êîììóòàòîð  îïåðàòîð
[]
BAABBA
−=
, (6.1.1)
íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì Ëè. Ñèñòåìó îïåðàòîðîâ A â
()
nC áóäåì
íàçûâàòü àëãåáðîé Ëè, åñëè
A
îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. Ñóììà äâóõ îïåðàòîðîâ èç A åñòü îïÿòü îïåðàòîð èç A .
2. Äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà A èç A è ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñ-
ëà
λ
îïåðàòîð
A
λ
òàêæå ïðèíàäëåæèò
A
.
3. Åñëè BA, - îïåðàòîðû èç
A
, òî îïåðàòîð
[]
BA
i
,
1
ïðèíàäëåæèò
A
.
Çàìå÷àíèå
Ââåäåíèå ìíîæèòåëÿ
i
1
â ï.3 ìîòèâèðóåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ ýðìèòîâûõ
îïåðàòîðîâ BA, êîììóòàòîð
[]
BAC ,
=
- àíòèýðìèòîâ îïåðàòîð, äëÿ
êîòîðîãî CC −=
+
, òîãäà êàê íàèáîëåå âàæíûå â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæå-
158                                                             Ãëàâà øåñòàÿ

                           ∂F
ðåñòàíîâî÷åí ñ    H , òî      = 0 . Òàêèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû èãðàþò ðîëü
                           ∂t
ñîõðàíÿþùèõñÿ «èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ» (ýíåðãèÿ, çàðÿä, ìîìåíò èìïóëü-
ñà) è èãðàþò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â èçó÷åíèè ïîâåäåíèÿ ôèçè-
÷åñêèõ ñèñòåì.
      Îòìåòèì, òàê æå, ÷òî âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ êîììóòàòîðíîé àëãåá-
ðîé, ìîãóò áûòü ïîëîæåíû â îñíîâó òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé; â ÷àñòíîñòè,
îíè ïîçâîëÿþò ðàñêðûòü îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîíÿ-
òèåì íåïðèâîäèìîñòè.
      Â äàííîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì êîììóòàòîðíóþ àëãåáðó Ëè â íå-
ñêîëüêî èçìåí¸ííîì âèäå, ÷òî ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ èñïîëüçîâà-
íèÿ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ.


       §6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáùèå ñâîéñòâà

     Äëÿ ëþáûõ äâóõ îïåðàòîðîâ A, B â ïðîñòðàíñòâå               C (n ) ìîæíî
ñîñòàâèòü èõ êîììóòàòîð – îïåðàòîð
      [A, B] = AB − BA                                               (6.1.1)

íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì Ëè. Ñèñòåìó îïåðàòîðîâ             A â C (n ) áóäåì
íàçûâàòü àëãåáðîé Ëè, åñëèA îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
     1. Ñóììà äâóõ îïåðàòîðîâ èç A åñòü îïÿòü îïåðàòîð èç A .
     2. Äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà A èç A è ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñ-
ëà λ îïåðàòîð λA òàêæå ïðèíàäëåæèò A .

      3. Åñëè   A, B - îïåðàòîðû èç A , òî îïåðàòîð
                                                      1
                                                        [A, B] ïðèíàäëåæèò A .
                                                      i

      Çàìå÷àíèå
                               1
      Ââåäåíèå ìíîæèòåëÿ         â ï.3 ìîòèâèðóåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ ýðìèòîâûõ
                               i
îïåðàòîðîâ      A, B êîììóòàòîð C = [A, B ] - àíòèýðìèòîâ îïåðàòîð, äëÿ
           +
êîòîðîãî   C = −C , òîãäà êàê íàèáîëåå âàæíûå â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæå-

Страницы