Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 160 стр.

160                                                                Ãëàâà øåñòàÿ

      2. Òîæäåñòâà ßêîáè
      [AB, C ] = [A, C ]B + A[B, C ],                                   (6.3.3)
ëåãêî äîêàçûâàåìûå ïðÿìîé ïðîâåðêîé:
      [AB, C ] = ABC − CAB = (ACB − CAB ) +
      + (ABC − ACB ) = [A, C ]B + A[B, C ] .
      Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ òîæäåñòâî
      [[A, B], C ]+ [[B, C ], A]+ [[C , A], B] = 0 ,    (6.3.4)
çàìåíÿþùåå ñâîéñòâî àññîöèàòèâíîñòè, êîòîðûì íå îáëàäàåò óìíîæå-
íèå Ëè (6.1.1).

      §6.4. Çàäàíèå àëãåáðû Ëè ñ ïîìîùüþ îáðàçóþùèõ
            è ñîîòíîøåíèé

      Êîíå÷íàÿ ñèñòåìà îïåðàòîðîâ            L1 , L2 ,..., Ls èç A íàçûâàåòñÿ ñèñ-
òåìîé îáðàçóþùèõ (èëè ãåíåðàòîðîâ) A , åñëè êàæäûé îïåðàòîð èç A
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îáðàçóþùèõ îïåðà-
òîðîâ ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè:
             s
      A = ∑a j Lj = a j Lj .                                            (6.4.1)
            j =1

     Ïîëàãàÿ îáðàçóþùèå ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü
ðàçëîæåíèå (6.4.1) îäíîçíà÷íûì, òàê êàê êîýôôèöèåíòû âïîëíå îïðåäå-
ëÿþòñÿ îïåðàòîðîì A . Êàæäàÿ àëãåáðà Ëè èìååò ñèñòåìó îáðàçóþùèõ,
êîòîðàÿ ìîæåò áûòü âûáðàíà áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñïîñîáîâ.
      Ðàçëàãàÿ ïî      Ll êîììóòàòîð îáðàçóþùèõ Li , Lk , ïîëó÷èì
                       s
      1
        [Li , Lk ] = ∑ cikl Ll = cikl Ll .                              (6.4.2)
      i              l =1
      Ðàâåíñòâà (6.4.2) íàçûâàþòñÿ ïåðåñòàíîâî÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè, à
ïîñòîÿííûå         cikl - ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè àëãåáðû Ëè; îíè ïîçâî-
ëÿþò âû÷èñëèòü êîììóòàòîð ëþáûõ äâóõ îïåðàòîðîâ ýòîé àëãåáðû.
      Âûðàæàÿ        A è B â âèäå (6.4.1), èìååì