Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

162 Ãëàâà øåñòàÿ
äà ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (6.4.2) ïîäàëãåáðû
A
ñîñòàâëÿþò ÷àñòü
ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé àëãåáðû A
′
. Îáðàòíî, ïóñòü çàäàíà ñè-
ñòåìà îáðàçóþùèõ â àëãåáðå Ëè A
′
, ÷àñòü êîòîðîé ñîñòàâëÿþò
s
LLL
,...,,
21
, ïðè÷¸ì ïðàâûå ÷àñòè ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ
s
LLL
,...,,
21
ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ýòèõ æå îáðàçóþùèõ.
Òîãäà âñåâîçìîæíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè
s
LLL
,...,,
21
ñ äåéñòâèòåëü-
íûìè êîýôôèöèåíòàìè ñîñòàâëÿþò ïîäàëãåáðó â
A
′
.
§6.6. Ïðèìåðû àëãåáð Ëè
1.
()
CnAGL , ñîñòîèò èç âñåõ îïåðàòîðîâ â
()
nC ; ýòî àëãåáðà Ëè,
îáðàçóþùèå êîòîðîé ìîãóò áûòü âûáðàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü
i
k
B
åñòü ìàòðèöà, ó êîòîðîé ýëåìåíò íà ïåðåñå÷åíèè k - é ñòðîêè è i - ãî
ñòîëáöà ðàâåí åäèíèöå, à âñå îñòàëüíûå  íóëþ. Èíäåêñû îçíà÷àþò òå-
ïåðü íóìåðàöèþ ìàòðèö, à íå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ; ïîýòîìó äëÿ çàïèñè
ýòèõ ïîñëåäíèõ ïåðåéä¸ì ê ñëåäóþùåìó îáîçíà÷åíèþ: ïóñòü ýëåìåíò
ìàòðèöû B íà ïåðåñå÷åíèè
µ
-é ñòðîêè è
ν
-ãî ñòîëáöà áóäåò
()
νµ
B
.
Òîãäà
( )
µ
ν
δδνµ
k
ii
k
B
=
, (6.6.1)
[]
( )( )
=−=
νµνµ
i
k
l
m
l
m
i
k
l
m
i
k
BBBBBB
,
()()
νµδνµδδδδδδδδδ
λ
ν
µ
λ
λ
ν
µ
λ
i
m
l
k
l
k
i
mk
i
m
l
m
l
k
i
BB
−=−=
, (6.6.2)
èëè
[ ]
i
m
l
k
l
k
i
m
l
m
i
k
BBBB
δδ
−=
, . (6.6.3)
Ýòî è åñòü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îáðàçóþùèõ
i
k
B
.
Äåëåíèå îáåèõ ÷àñòåé íà i äà¸ò ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû.
Ëþáîé îïåðàòîð ðàçëàãàåòñÿ ïî
i
k
B
ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåí-
162                                                                             Ãëàâà øåñòàÿ

äà ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (6.4.2) ïîäàëãåáðû                        A ñîñòàâëÿþò ÷àñòü
ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé àëãåáðû                         A′ . Îáðàòíî, ïóñòü çàäàíà ñè-
ñòåìà îáðàçóþùèõ â àëãåáðå Ëè                          A′ , ÷àñòü êîòîðîé ñîñòàâëÿþò
L1 , L2 ,..., Ls , ïðè÷¸ì ïðàâûå ÷àñòè ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ
L1 , L2 ,..., Ls ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ýòèõ æå îáðàçóþùèõ.
Òîãäà âñåâîçìîæíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè                           L1 , L2 ,..., Ls ñ äåéñòâèòåëü-
íûìè êîýôôèöèåíòàìè ñîñòàâëÿþò ïîäàëãåáðó â                           A′ .


      §6.6. Ïðèìåðû àëãåáð Ëè

     1. AGL(n, C ) ñîñòîèò èç âñåõ îïåðàòîðîâ â C (n ) ; ýòî àëãåáðà Ëè,
îáðàçóþùèå êîòîðîé ìîãóò áûòü âûáðàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü
Bki åñòü ìàòðèöà, ó êîòîðîé ýëåìåíò íà ïåðåñå÷åíèè k - é ñòðîêè è i - ãî
ñòîëáöà ðàâåí åäèíèöå, à âñå îñòàëüíûå – íóëþ. Èíäåêñû îçíà÷àþò òå-
ïåðü íóìåðàöèþ ìàòðèö, à íå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ; ïîýòîìó äëÿ çàïèñè
ýòèõ ïîñëåäíèõ ïåðåéä¸ì ê ñëåäóþùåìó îáîçíà÷åíèþ: ïóñòü ýëåìåíò
ìàòðèöû      B íà ïåðåñå÷åíèè µ -é ñòðîêè è ν -ãî ñòîëáöà áóäåò (µ B ν ).
      Òîãäà

      (µ B ν ) = δ δ ,
             i
             k           ν
                          i    µ
                               k                                                     (6.6.1)

      (µ [B , B ]ν ) = (µ B B
             i
             k
                     l
                     m
                                       i
                                       k
                                           l
                                           m                )
                                                 − Bml Bki ν =

                                                        (         ) (            )
      = δ λi δ kµ δ νl δ mλ − δ λl δ mµ δ νi δ kλ = δ mi µ Bkl ν − δ kl µ Bmi ν , (6.6.2)
èëè
      [B , B ] = δ
         i
         k
                 l
                 m
                         i
                         m    Bkl − δ kl Bmi .                                       (6.6.3)

      Ýòî è åñòü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îáðàçóþùèõ                                Bki .
Äåëåíèå îáåèõ ÷àñòåé íà               i äà¸ò ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû.
      Ëþáîé îïåðàòîð ðàçëàãàåòñÿ ïî                     Bki ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåí-

Страницы