Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

164 Ãëàâà øåñòàÿ
[ ]
i
m
l
k
l
k
i
m
l
m
i
k
BBAA
δδ
−=
, . (6.6.8)
Ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü âìåñòî
i
m
l
k
BB
, âûðàæåíèÿ èç (6.6.4)
j
j
l
k
l
k
l
k
B
n
AB
δ
1
+= ,
j
j
i
m
i
m
i
m
B
n
AB
δ
1
+= ,
ïîëó÷èì:
[]
( )
r
s
s
m
i
r
l
k
s
k
l
r
i
m
i
m
l
k
l
k
i
m
l
m
i
k
AAAAA
δδδδδδδ
−=−=
, . (6.6.9)
3.
()
nAU ñîñòîèò èç âñåõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ â
()
nC . Êàæäàÿ
ýðìèòîâà ìàòðèöà
A
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
i
k
k
i
BA
ω
= ,
k
i
i
k
ωω
= . (6.6.10)
Åñëè çàïèñàòü
k
i
ω
â âèäå
k
i
k
i
i
βα
+ , ãäå
k
i
α
è
k
i
β
äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà, òî A ïðåäñòàâèòñÿ êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñ äåéñòâèòåëüíûìè
êîýôôèöèåíòàìè îáðàçóþùèõ
()()
k
i
i
k
k
i
i
k
i
i
BBBBB
−+
,, . Èíîãäà âûãîä-
íî ñîõðàíèòü íåýðìèòîâû îáðàçóþùèå
i
k
B
, ðàñøèðÿÿ ñìûñë ïîíÿòèÿ
îáðàçóþùèõ; òîãäà äëÿ âûðàæåíèÿ A ÷åðåç ýòè «âíåøíèå» îáðàçóþùèå
ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè
i
k
ω
, óäîâëåò-
âîðÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿì
k
i
i
k
ωω
= :
k
i
i
k
k
i
i
k
BA
ωωω
== , . (6.6.11)
4.
()
nASU ñîñòîèò èç âñåõ áåññëåäíûõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ â
()
nC .  êà÷åñòâå å¸ «âíóòðåííèõ» îáðàçóþùèõ ìîæíî âçÿòü
i
i
A
,
()
k
i
i
k
AA
+
,
()
k
i
i
k
AAi
−
; ïî ýòèì îáðàçóþùèì áåññëåäíûå ýðìèòîâû ìàò-
ðèöû ðàçëàãàþòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
 ñèëó (6.6.5), ýòè îáðàçóþùèå çàâèñèìû; ðàçëîæåíèå ìîæíî ñäå-
ëàòü îäíîçíà÷íûì, ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè
i
i
A
164                                                                                Ãëàâà øåñòàÿ

       [A , A ] = δ
           i
           k
                l
                m
                         i
                         m   Bkl − δ kl Bmi .                                            (6.6.8)

      Ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü âìåñòî                       Bkl , Bmi âûðàæåíèÿ èç (6.6.4)
                  1                       1
       Bkl = Akl + δ kl B jj , Bmi = Ami + δ mi B jj ,
                  n                       n
ïîëó÷èì:

       [A , A ] = δ
           i
           k
                l
                m
                         i
                         m                       (                     s
                                                                           )
                             Akl − δ kl Ami = δ mi δ rl δ ks − δ kl δ ri m Asr .         (6.6.9)


      3.   AU (n ) ñîñòîèò èç âñåõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ â C (n ) . Êàæäàÿ
ýðìèòîâà ìàòðèöà             A ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
       A = ω B , ω ki = ω ik .
                k
                i
                     i
                     k                                                                   (6.6.10)

      Åñëè çàïèñàòü           ω ik â âèäå α ik + iβ ik , ãäå α ik è β ik äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà, òî      A ïðåäñòàâèòñÿ êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñ äåéñòâèòåëüíûìè
êîýôôèöèåíòàìè îáðàçóþùèõ                            (          )(             )
                                                Bii , Bki + Bik , Bki − Bik . Èíîãäà âûãîä-
íî ñîõðàíèòü íåýðìèòîâû îáðàçóþùèå                           Bki , ðàñøèðÿÿ ñìûñë ïîíÿòèÿ
îáðàçóþùèõ; òîãäà äëÿ âûðàæåíèÿ                          A ÷åðåç ýòè «âíåøíèå» îáðàçóþùèå
ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè ω k , óäîâëåò-
                                                                                     i


âîðÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿì                   ω ki = ω ik :
       A = ω ki Bik ,        ω ki = ω ik .                                               (6.6.11)


      4.   ASU (n ) ñîñòîèò èç âñåõ áåññëåäíûõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ â
C (n ) .  êà÷åñòâå å¸ «âíóòðåííèõ» îáðàçóþùèõ ìîæíî âçÿòü Aii ,
(Ai
  k            ) (              )
      + Aik , i Aki − Aik ; ïî ýòèì îáðàçóþùèì áåññëåäíûå ýðìèòîâû ìàò-
ðèöû ðàçëàãàþòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
    Â ñèëó (6.6.5), ýòè îáðàçóþùèå çàâèñèìû; ðàçëîæåíèå ìîæíî ñäå-
ëàòü îäíîçíà÷íûì, ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè                                        Aii

Страницы