Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

165Àëãåáðû Ëè
áûëà ðàâíà íóëþ. Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ è «âíåøíèìè» îáðàçóþùè-
ìè
i
k
A
:
i
k
i
k
AA
ω
= ,
k
i
i
k
ωω
= , 0=
i
i
ω
. (6.6.12)
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè, âñòðå÷àþùèåñÿ â ôèçèêå.
5.
2=n
. Ïàóëè ïðåäëîæèë â êà÷åñòâå îáðàçóþùèõ äëÿ
()
2AU
ýðìèòîâû ìàòðèöû
()
=
10
01
2
1
2
2
1
E ,
=
01
10
2
1
1
σ
,
−
=
0
0
2
1
2
i
i
σ
,
−
=
10
01
2
1
3
σ
. (6.6.13)
Âñÿêàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà
A
ðàçëàãàåòñÿ ïî ìàòðèöàì (6.6.13) ñ
äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè ýòîì, åñëè
A
áåññëåäíà, òî â
ðàçëîæåíèå íå âõîäèò
()
2E .
Òàêèì îáðàçîì,
321
,,
σσσ
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáðàçóþùèå äëÿ
()
2ASU .
Ñîñòàâèì «òàáëèöó óìíîæåíèÿ» ìàòðèö Ïàóëè:
321
2
1
10
01
2
1
2
1
0
0
4
1
0
0
01
10
4
1
σσσ
ii
i
i
i
i
=
−
=
−
=
−
⋅
=
Ïîñòóïàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷èì:
231
2
1
σσσ
i−= ,
312
2
1
σσσ
i−= ,
132
2
1
σσσ
i= ,
213
2
1
σσσ
i= ,
123
2
1
σσσ
i−= . (6.6.14)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî
()
2
4
1
2
3
2
2
2
1
E
===
σσσ
. (6.6.15)
Àëãåáðû Ëè                                                                     165

áûëà ðàâíà íóëþ. Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ è «âíåøíèìè» îáðàçóþùè-
ìè   Aki :
        A = ω ki Aki , ω ki = ω ik , ω ii = 0 .                          (6.6.12)
       Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè, âñòðå÷àþùèåñÿ â ôèçèêå.

    5. n = 2 . Ïàóëè ïðåäëîæèë â êà÷åñòâå îáðàçóþùèõ äëÿ                  AU (2 )
ýðìèòîâû ìàòðèöû

                  1 1 0                       1  0 1         1 0 − i
          E (2 ) = 
        1
                           ,              σ 1 =      , σ 2 =       ,
        2         2  0 1                     2  1 0         2  i 0 

                             1 1 0 
                        σ 3 =        .                                (6.6.13)
                             2  0 − 1
       Âñÿêàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà A                ðàçëàãàåòñÿ ïî ìàòðèöàì (6.6.13) ñ
äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè ýòîì, åñëè A áåññëåäíà, òî â
ðàçëîæåíèå íå âõîäèò          E (2 ).
       Òàêèì îáðàçîì,       σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáðàçóþùèå äëÿ
ASU (2 ).
       Ñîñòàâèì «òàáëèöó óìíîæåíèÿ» ìàòðèö Ïàóëè:

        1  0 1   0 − i  1  i 0  1  1  1 0  1
σ 1σ 2 =       ⋅       =            = i            = iσ 3
        4  1 0   i 0  4  0 − i  2  2  0 − 1 2
       Ïîñòóïàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷èì:
                 1                        1               1
       σ 1σ 3 = − iσ 2 ,        σ 2σ 1 = − iσ 3 , σ 2σ 3 = iσ 1 ,
                 2                        2               2
               1                                     1
       σ 3σ 1 = iσ 2 ,                     σ 3σ 2 = − iσ 1 .             (6.6.14)
               2                                     2
       Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî

                                E (2 ) .
                              1
       σ 12 = σ 22 = σ 32 =                                              (6.6.15)
                              4

Страницы