Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 161 стр.

Àëãåáðû Ëè                                                                           161

                      s                          s
     1
       [A, B ] = ∑ a i b k ⋅ 1 [Li , Lk ] = ∑ a i b k cikl Ll = a i b k cikl Ll . (6.4.3)
     i           i , k =1    i             i , k ,l =1

     Òàêèì îáðàçîì, åñëè óêàçàíû ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû, ìû ïîëíî-
ñòüþ çíàåì çàêîí êîììóòèðîâàíèÿ â àëãåáðå Ëè. Âûðàæåíèÿ (6.3.1),(6.3.2)
è (6.3.4) íàêëàäûâàþò íà ñòðóêòóðíûå êîýôôèöèåíòû                 cikl îãðàíè÷åíèÿ è
îíè íå ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëüíî. Ïðèìåíÿÿ ïåðå÷èñëåííûå âûøå
âûðàæåíèÿ ê îïåðàòîðàì              L j íåòðóäíî ïîëó÷èòü:
     ciil = 0 ,                                                               (6.4.4)

     cikl = −c kil ,                                                          (6.4.5)

     cikl clpq + c kp
                   l
                      cliq + c lpi clkq = 0 .                                 (6.4.6)
     Íåñìîòðÿ íà ñâî¸ íàçâàíèå, ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû íå ÿâëÿþòñÿ
ïîñòîÿííûìè. Ïðè çàìåíå áàçèñà â àëãåáðå               A cikl ïðåîáðàçóþòñÿ êàê
òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà ñ îäíèì êîíòðàâàðèàíòíûì è äâóìÿ êîâàðèàíò-
íûìè èíäåêñàìè.
     Âñÿêàÿ àëãåáðà Ëè ìîæåò áûòü çàäàíà óêàçàíèåì ñòðóêòóðíûõ êîí-
ñòàíò, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñîîòíîøåíèÿì (6.4.4) – (6.4.6), ïî êîòîðûì ìîæ-
íî íàéòè êîììóòàòîð ëþáûõ îïåðàòîðîâ àëãåáðû ïî ïðàâèëó (6.4.3).
Ìû áóäåì çàäàâàòü àëãåáðû Ëè óêàçàíèåì îáðàçóþùèõ                    L j è ñîîòíîøå-
íèé (6.4.2). Âûáîð òåõ èëè èíûõ îáðàçóþùèõ â àëãåáðå Ëè äèêòóåòñÿ ñî-
îáðàæåíèÿìè óäîáñòâà âû÷èñëåíèé, ïðè ýòîì ñëåäóåò ñòðåìèòñÿ ê íàè-
áîëüøåé ïðîñòîòå ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò. Ìîæåò îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî
óäà÷íî âûáðàííûå îáðàçóþùèå äîïóñêàþò ôèçè÷åñêîå òîëêîâàíèå. Íàäî
ïîìíèòü, ÷òî íåëüçÿ îòîæäåñòâëÿòü àëãåáðó Ëè ñ ñèñòåìîé å¸ îáðàçóþ-
ùèõ è ñîîòíîøåíèé, òàê êàê å¸ ìîæíî çàäàòü è ñ ïîìîùüþ äðóãèõ îáðà-
çóþùèõ.

      §6.5. Ïîäàëãåáðû Ëè

     Åñëè àëãåáðà Ëè      A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì àëãåáðû Ëè A′ , òî
A íàçûâàåòñÿ ïîäàëãåáðîé A′ . Âûáðàâ â A ñèñòåìó îáðàçóþùèõ
L1 , L2 ,..., Ls , ìû ìîæåì å¸ äîïîëíèòü äî ñèñòåìû îáðàçóþùèõ A′ ; òîã-