Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

159Àëãåáðû Ëè
íèÿõ ñèñòåìû îïåðàòîðîâ ñîñòîÿò èç ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ. ×òîáû ïðå-
âðàòèòü êîììóòèðîâàíèå â îïåðàöèþ, íå âûâîäÿùóþ çà ïðåäåëû òàêîé
ñèñòåìû, êîììóòàòîð óìíîæàþò íà
i
1
è òîãäà àíòèýðìèòîâû îïåðàòîðû
ïåðåõîäÿò â ýðìèòîâû.
Òåïåðü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îïåðàòîðàìè ñèñòå-
ìû ìîæíî çàïèñàòü òàê:
[]
iCBA
=
, , (6.1.2)
ãäå âñå òðè îïåðàòîðà CBA ,, - ýðìèòîâû.
§6.2. Èçîìîðôèçì àëãåáð Ëè
Àëãåáðû Ëè
21
,
AA èçîìîðôíû, åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå
21
:
AA →
ϕ
(6.2.1)
òàêîå, ÷òî
()()()
BABA
ϕϕϕ
+=+
, (6.2.2)
() ()
AA
λϕλϕ
=
(
λ
äåéñòâèòåëüíî), (6.2.3)
[]
() ()
[]
BA
i
BA
i
ϕϕϕ
,
1
,
1
=
. (6.2.4)
ϕ
íàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì èçîìîðôèçìîì àëãåáð Ëè.
§6.3. Ñâîéñòâà êîììóòàòîðîâ àëãåáðû Ëè
1. Ñâîéñòâî àíòèêîììóòàòèâíîñòè:
[][]
ABBA ,,
−=
, (6.3.1)
ïðÿìî âûòåêàþùåå èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ Ëè (6.1.1).
 ÷àñòíîñòè, ïðè
BA =
ïîëó÷èì
[]
0,
=
AA . (6.3.2)
Àëãåáðû Ëè                                                              159

íèÿõ ñèñòåìû îïåðàòîðîâ ñîñòîÿò èç ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ. ×òîáû ïðå-
âðàòèòü êîììóòèðîâàíèå â îïåðàöèþ, íå âûâîäÿùóþ çà ïðåäåëû òàêîé
                                       1
ñèñòåìû, êîììóòàòîð óìíîæàþò íà          è òîãäà àíòèýðìèòîâû îïåðàòîðû
                                       i
ïåðåõîäÿò â ýðìèòîâû.
     Òåïåðü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îïåðàòîðàìè ñèñòå-
ìû ìîæíî çàïèñàòü òàê:
     [A, B ] = iC ,                                               (6.1.2)
ãäå âñå òðè îïåðàòîðà      A, B, C - ýðìèòîâû.


      §6.2. Èçîìîðôèçì àëãåáð Ëè

     Àëãåáðû Ëè       A1 , A 2 èçîìîðôíû, åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå
     ϕ : A1 → A 2                                                 (6.2.1)
òàêîå, ÷òî
     ϕ (A + B ) = ϕ (A) + ϕ (B ) ,                                (6.2.2)

     ϕ (λA) = λϕ (A)         ( λ äåéñòâèòåëüíî),                  (6.2.3)

       1        1
     ϕ  [A, B ] = [ϕ (A), ϕ (B )].                              (6.2.4)
       i        i
ϕ íàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì èçîìîðôèçìîì àëãåáð Ëè.

      §6.3. Ñâîéñòâà êîììóòàòîðîâ àëãåáðû Ëè


     1. Ñâîéñòâî àíòèêîììóòàòèâíîñòè:
     [A, B ] = −[B, A] ,                                          (6.3.1)
ïðÿìî âûòåêàþùåå èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ Ëè (6.1.1).
      ÷àñòíîñòè, ïðè      A = B ïîëó÷èì
     [A, A] = 0 .                                                 (6.3.2)

Страницы