Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

152 Ãëàâà ïÿòàÿ
()
()
()
∑∑
α
−α
=α=
bij
babijij
GGGPc
g
1
1
(ãäå
babc
GGGG
1−
=
) (5.14.7)
()
()
()
()
()
()
()
=α=
∑∑∑
α
αα−α
bijkl
bljaklbikij
GPGPGPc
g
1
1
(5.14.8)
()
()
()
=δδα=
∑∑
α
α
α
ij kl
klijaklij
s
g
GPc
g
1
(ñ ó÷¸òîì (5.9.6))
()
()
()
.Gc
s
i
aii
∑∑
α
α
α
χα=
1
Ýòè âåêòîðû x îáðàçóþò ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n , ãäå n -
÷èñëî êëàññîâ, è ôîðìóëà (5.14.8) ïîêàçûâàåò, ÷òî õàðàêòåðû, ÿâëÿþùèåñÿ
íàáîðîì îðòîíîðìèðîâàííûõ âåêòîðîâ â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå, òàêæå
îáðàçóþò åãî áàçèñ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî äîëæíî áûòü ðîâíî n òàêèõ
õàðàêòåðîâ
()
α
χ
, òî åñòü ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâ-
ëåíèé ðàâíî
n
- ÷èñëó êëàññîâ ãðóïïû
G
, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
§5.15. Âòîðîå ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ
õàðàêòåðîâ ãðóïï
Ðàâåíñòâî ÷èñëà êëàññîâ ÷èñëó íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåä-
ñòàâëåíèé îçíà÷àåò, ÷òî òàáëèöà õàðàêòåðîâ, â êîòîðîé ñòîëáöû ñîîòâåò-
ñòâóþò êëàññàì, à ñòðîêè  íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì, äîëæíà áûòü
êâàäðàòíîé. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì îðòîãîíàëüíîñòè (5.11.1),
(5.11.2) ëþáûå äâå ñòðîêè â òàêîé òàáëèöå îðòîãîíàëüíû, è òàêèì îáðàçîì
ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå î òîì, ÷òî è äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ñòîëáöîâ
òàáëèöû òàêæå ñóùåñòâóåò ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè.
Äëÿ âûâîäà ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîñòðîèì ìàòðèöó B ðàçìåðíîñòè
nn × , ýëåìåíòû êîòîðîé òàêîâû:
()
α
α
χ
=
p
p
p
g
c
B
2
1
, (5.15.1)
152                                                                         Ãëàâà ïÿòàÿ


                  c (αij )Pij(α ) (Gb−1Ga Gb ) = (ãäå Gc = Gb−1Ga Gb ) (5.14.7)
          1
      =     ∑∑
          g b αij

                     c(αij )Pik(α ) (Gb−1 )Pkl(α ) (Ga )Plj(α ) (Gb ) =
          1
      =     ∑∑∑
          g b αij kl
                                                                               (5.14.8)



                   c(αij )Pkl(α ) (Ga )δij δ kl
          1                                     g
      =     ∑∑
          g αij kl                              sα
                                                   =                 (ñ ó÷¸òîì (5.9.6))



                    ∑ c(α )χ( ) (G ).
               1
      =∑                     ii
                                    α
                                        a
          α    sα    i

     Ýòè âåêòîðû x îáðàçóþò ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n , ãäå n -
÷èñëî êëàññîâ, è ôîðìóëà (5.14.8) ïîêàçûâàåò, ÷òî õàðàêòåðû, ÿâëÿþùèåñÿ
íàáîðîì îðòîíîðìèðîâàííûõ âåêòîðîâ â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå, òàêæå
îáðàçóþò åãî áàçèñ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî äîëæíî áûòü ðîâíî n òàêèõ
õàðàêòåðîâ      χ (α ) , òî åñòü ÷èñëî íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâ-
ëåíèé ðàâíî n - ÷èñëó êëàññîâ ãðóïïû G , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.


      §5.15. Âòîðîå ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ
             õàðàêòåðîâ ãðóïï

      Ðàâåíñòâî ÷èñëà êëàññîâ ÷èñëó íåýêâèâàëåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ïðåä-
ñòàâëåíèé îçíà÷àåò, ÷òî òàáëèöà õàðàêòåðîâ, â êîòîðîé ñòîëáöû ñîîòâåò-
ñòâóþò êëàññàì, à ñòðîêè – íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì, äîëæíà áûòü
êâàäðàòíîé. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì îðòîãîíàëüíîñòè (5.11.1),
(5.11.2) ëþáûå äâå ñòðîêè â òàêîé òàáëèöå îðòîãîíàëüíû, è òàêèì îáðàçîì
ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå î òîì, ÷òî è äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ñòîëáöîâ
òàáëèöû òàêæå ñóùåñòâóåò ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè.
      Äëÿ âûâîäà ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîñòðîèì ìàòðèöó                       B ðàçìåðíîñòè
n × n , ýëåìåíòû êîòîðîé òàêîâû:
                         1
                  c 2
      Bαp     =  p  χ (pα ) ,                                              (5.15.1)
                 g

Страницы