Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

140 Ãëàâà ïÿòàÿ
Âîñïîëüçóåìñÿ ëåììàìè Øóðà äëÿ âûâîäà ñîîòíîøåíèé îðòîãî-
íàëüíîñòè ìàòðè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ðàññìîòðèì äâà íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèÿ
()
()
a
GP
α
è
()
()
a
GP
β
ãðóïïû
G
, ïðè÷¸ì
()
()
a
GP
α
îï-
ðåäåëåíî â ïðîñòðàíñòâå
α
L , à
()
()
a
GP
β
- â
β
L . Ïóñòü
U
- íåêîòîðûé
îïåðàòîð, ïðåîáðàçóþùèé âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà
β
L â âåêòîðû ïðî-
ñòðàíñòâà
α
L . Ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð A âèäà
()
()
()
()
∑
−
=
b
bb
GUPGPA
1
βα
(5.9.1)
îáëàäàåò ñâîéñòâàìè îïåðàòîðà
A
â ëåììàõ Øóðà, òàê êàê
()
()
()
()
()
()
()
( )
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
.
1
1
11
1
aa
c
cc
a
b
baba
a
b
bba
b
bbaa
GAPGPGUPGP
GPGGUPGGP
GPGPGUPGGP
GUPGPGPAGP
βββα
ββα
β
α
ββα
βααα
==
==
==
==
∑
∑
∑
∑
−
−
−−
−
Ìû çäåñü èñïîëüçîâàëè òåîðåìó î ïåðå÷èñëåíèè ãðóïï (§4.11). Ðàñ-
ñìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
1)
()
()
a
GP
α
è
()
()
a
GP
β
- îäíî è òî æå ïðåäñòàâëåíèå, îòêóäà ïî
ëåììå Øóðà ñëåäóåò
1
λ
=A
;
2)
()
()
a
GP
α
è
()
()
a
GP
β
íåýêâèâàëåíòíû, è ïî ëåììå Øóðà
0=A
.
Ýòè äâà ñëó÷àÿ ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíî ðàâåíñòâî
1
αβ
λδ
=
A , (5.9.2)
ñ÷èòàÿ, ÷òî â í¸ì 0=
αβ
δ
, êîãäà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ
()
()
a
GP
α
è
()
()
a
GP
β
íåýêâèâàëåíòíû, è 1=
αβ
δ
, êîãäà
()
()
a
GP
α
è
()
()
a
GP
β
-
140                                                                            Ãëàâà ïÿòàÿ

     Âîñïîëüçóåìñÿ ëåììàìè Øóðà äëÿ âûâîäà ñîîòíîøåíèé îðòîãî-
íàëüíîñòè ìàòðè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé. Ðàññìîòðèì äâà íåïðèâîäèìûõ
ïðåäñòàâëåíèÿ      P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga ) ãðóïïû G , ïðè÷¸ì P (α ) (Ga ) îï-
ðåäåëåíî â ïðîñòðàíñòâå           Lα , à P (β ) (Ga ) - â Lβ . Ïóñòü U - íåêîòîðûé
îïåðàòîð, ïðåîáðàçóþùèé âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà                          Lβ â âåêòîðû ïðî-
ñòðàíñòâà     Lα . Ìû ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð A âèäà
       A = ∑ P (α ) (Gb )UP (β ) Gb−1( )                                             (5.9.1)
               b

îáëàäàåò ñâîéñòâàìè îïåðàòîðà            A â ëåììàõ Øóðà, òàê êàê

                                                        ( )
       P (α ) (Ga )A = ∑ P (α ) (Ga )P (α ) (Gb )UP (β ) Gb−1 =
                          b
                                                  )(
                       = ∑ P (α ) (Ga Gb )UP (β     G )P ( ) (G )P (
                                                         −1
                                                         b
                                                                  β       −1
                                                                          α
                                                                               β)
                                                                                    (Ga ) =
                          b

                                                  (                   )
                       = ∑ P (α ) (Ga Gb )UP (β ) (Ga Gb ) 1 P (β ) (Ga ) =
                                                                  −

                          b

                                               ( )P ( ) (G ) = AP ( ) (G ).
                       = ∑ P (α ) (Gc )UP (β ) Gc
                                                    −1        β
                                                                      a
                                                                                β
                                                                                        a
                          c

    Ìû çäåñü èñïîëüçîâàëè òåîðåìó î ïåðå÷èñëåíèè ãðóïï (§4.11). Ðàñ-
ñìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
       1)   P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga ) - îäíî è òî æå ïðåäñòàâëåíèå, îòêóäà ïî
ëåììå Øóðà ñëåäóåò A = λ1 ;
       2)   P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga ) íåýêâèâàëåíòíû, è ïî ëåììå Øóðà A = 0 .
Ýòè äâà ñëó÷àÿ ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíî ðàâåíñòâî
       A = λδ αβ 1 ,                                                                 (5.9.2)

ñ÷èòàÿ, ÷òî â í¸ì δ αβ        = 0 , êîãäà íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ P (α ) (Ga )
è   P (β ) (Ga ) íåýêâèâàëåíòíû, è δ αβ = 1 , êîãäà P (α ) (Ga ) è P (β ) (Ga )-

Страницы