Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 98 стр.

98                                                                     Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

        Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðû äèñêðåòíîé ãðóïïû ðàñïîëîæåíû â
GL(n ,C ) èçîëèðîâàííî. Îïåðàòîðû äèñêðåòíîé ãðóïïû ìîæíî çàíó-
ìåðîâàòü êîíå÷íûì ÷èñëîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èëè âñåì ðÿäîì íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë.  ïåðâîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èì êîíå÷íóþ ãðóïïó, âî âòîðîì –
áåñêîíå÷íóþ.
        Ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé (òîïîëîãè÷åñêîé) ãðóïïîé, èëè
ãðóïïîé Ëè1, åñëè êàæäûé îïåðàòîð                 U èìååò ε - îêðåñòíîñòü, îáëàäàþ-
ùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
        Ñóùåñòâóåò          n 2 ôóíêöèé k ïåðåìåííûõ
        U i j (t1 ,...,tk ) ,                                                  (4.3.2)
îïðåäåë¸ííûõ è íåïðåðûâíûõ â êóáå
        ti < ε ,                     i = 1,2 ,...,k ,                          (4.3.3)

òàêèõ, ÷òî ìàòðèöû              U i j (t1 ,...,tk ) çàäàþò â âûáðàííîì áàçèñå e1 ,..., en
âñåâîçìîæíûå îïåðàòîðû èç ε - îêðåñòíîñòè îïåðàòîðà                      U , ïðèíàäëå-
æàùèå G , ïðè÷¸ì ðàçëè÷íûì íàáîðàì                      (ti ) ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå
îïåðàòîðû. Ñèñòåìà ôóíêöèé (4.3.2) íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðèçàöèåé ãðóï-
ïû â îêðåñòíîñòè îïåðàòîðà U , ÷èñëî k íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ãðóï-
ïû, à G íàçûâàåòñÿ k - ìåðíîé (èëè k - ìåòðè÷åñêîé) ãðóïïîé Ëè. Ôóí-
êöèè (4.3.2) âñåãäà ìîæíî âûáðàòü àíàëèòè÷åñêèìè (à íå òîëüêî íåïðå-
ðûâíûìè).
     Êàæäàÿ ãðóïïà Ëè ìîæåò áûòü çàäàíà ñ ïîìîùüþ àëãåáðàè÷åñêèõ
ñîîòíîøåíèé, íàëîæåííûõ íà êîýôôèöèåíòû ìàòðèö                        U e ; äëÿ k - ìåð-
íîé ãðóïïû íàäî ñâÿçàòü äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè ìàòðè÷íûõ
ýëåìåíòîâ        (U e )ij   ïîñðåäñòâîì       2n 2 − k íåçàâèñèìûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
     Êàæäîé íåïðåðûâíîé (òîïîëîãè÷åñêîé) ãðóïïå ìû ìîæåì ñîïîñ-
òàâèòü ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå áóäåì, òàê æå íàçûâàòü
òîïîëîãè÷åñêèì. Åñëè ýòî òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî áóäåò êîìïàêò-
íûì, òî è ñîîòâåòñòâóþùóþ ãðóïïó áóäåì íàçûâàòü êîìïàêòíîé.
     Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòè îïðåäåëåíèÿ íà ïðîñòûõ ïðèìåðàõ. Äåéñòâè-
òåëüíàÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîìïàêòíîå òîïîëîãè-
1
    Ñîôóñ Ëè (1842-1899) íîðâåæñêèé ìàòåìàòèê.