Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

97Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà
Âñå îáðàòèìûå îïåðàòîðû â
()
nC îáðàçóþò ãðóïïó; ïðîèçâåäåíèå
îáðàòèìûõ îïåðàòîðîâ UV èìååò îáðàòíûé îïåðàòîð
11 −−
UV (ñì.
(4.1.5)), êîòîðûé òàêæå îáðàòèì, òàê êàê
()
UVUV
=
−
−−
1
11
; òîæäåñòâåí-
íûé îïåðàòîð
()
nE îáðàòèì
()() ()
nEnE
=
−
1
; êàæäûé îáðàòèìûé îïå-
ðàòîð U èìååò îáðàòíûé
1−
U , êîòîðûé îáðàòèì
()
UU
=
−
−
1
1
.
Îáîçíà÷èì ãðóïïó âñåõ îáðàòèìûõ îïåðàòîðîâ â
()
nC ÷åðåç
()
C,nGL . Âñå ãðóïïû îïåðàòîðîâ â
()
nC ÿâëÿþòñÿ ïîäãðóïïàìè
()
C,nGL . Èçîáðàçèì
()
C,nGL ìàòðèöàìè, êàê óêàçàíî âûøå, òîãäà
()
C,nGL áóäåò ñîñòîÿòü èç âñåõ êîìïëåêñíûõ
n
- ðÿäíûõ îáðàòèìûõ
ìàòðèö, òî åñòü ìàòðèö ñ íåíóëåâûì îïðåäåëèòåëåì.
§4.3. Äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå ãðóïïû
Ïî îïðåäåëåíèþ, ëþáàÿ ãðóïïà
G
åñòü ïîäãðóïïà
()
C,nGL ïðè
íåêîòîðîì n . Ãðóïïû äåëÿòñÿ íà äâà îñíîâíûõ êëàññà  äèñêðåòíûå è
íåïðåðûâíûå.
Ïóñòü U - îïåðàòîð èç
()
C,nGL . Âûáåðåì áàçèñ
n
e,...,e
1
â
()
nC ;
òîãäà U èìååò â ýòîì áàçèñå ìàòðèöó
e
U
. Äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî
÷èñëà
ε
ìíîæåñòâî âñåõ îïåðàòîðîâ V , âñå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîòî-
ðûõ óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì
() ( )
ε<−
j
i
e
j
i
e
UV
, (4.3.1)
îáðàçóþò
ε
-îêðåñòíîñòü îïåðàòîðà U .
Åñëè êàæäûé îïåðàòîð U èç ãðóïïû
G
èìååò
ε
- îêðåñòíîñòü, íå
ñîäåðæàùóþ äðóãèõ îïåðàòîðîâ èç
G
, òî ãðóïïà
G
íàçûâàåòñÿ äèñêðåò-
íîé; à
ε
- îêðåñòíîñòü ìîæåò áûòü äëÿ êàæäîãî U âûáðàíà îòäåëüíî.
Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà                                                                  97

     Âñå îáðàòèìûå îïåðàòîðû â             C (n ) îáðàçóþò ãðóïïó; ïðîèçâåäåíèå
îáðàòèìûõ îïåðàòîðîâ                UV èìååò îáðàòíûé îïåðàòîð V −1U −1 (ñì.
(4.1.5)), êîòîðûé òàêæå îáðàòèì, òàê êàê            (V    U −1 ) = UV ; òîæäåñòâåí-
                                                         −1   −1



                    E (n ) îáðàòèì (E (n )) = E (n ) ; êàæäûé îáðàòèìûé îïå-
                                              −1
íûé îïåðàòîð

        U èìååò îáðàòíûé U −1 , êîòîðûé îáðàòèì (U −1 ) = U .
                                                                    −1
ðàòîð

     Îáîçíà÷èì ãðóïïó âñåõ îáðàòèìûõ îïåðàòîðîâ â                        C (n ) ÷åðåç
GL(n ,C ) . Âñå ãðóïïû îïåðàòîðîâ â C (n ) ÿâëÿþòñÿ ïîäãðóïïàìè
GL(n ,C ) . Èçîáðàçèì GL (n ,C ) ìàòðèöàìè, êàê óêàçàíî âûøå, òîãäà
GL(n ,C ) áóäåò ñîñòîÿòü èç âñåõ êîìïëåêñíûõ n - ðÿäíûõ îáðàòèìûõ
ìàòðèö, òî åñòü ìàòðèö ñ íåíóëåâûì îïðåäåëèòåëåì.



        §4.3. Äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå ãðóïïû

     Ïî îïðåäåëåíèþ, ëþáàÿ ãðóïïà G åñòü ïîäãðóïïà                   GL(n ,C ) ïðè
íåêîòîðîì n . Ãðóïïû äåëÿòñÿ íà äâà îñíîâíûõ êëàññà – äèñêðåòíûå è
íåïðåðûâíûå.
     Ïóñòü U - îïåðàòîð èç            GL(n ,C ) . Âûáåðåì áàçèñ e1 ,...,en â C (n ) ;
òîãäà U èìååò â ýòîì áàçèñå ìàòðèöó U e . Äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî
÷èñëà ε ìíîæåñòâî âñåõ îïåðàòîðîâ V , âñå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîòî-
ðûõ óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì

        (Ve )ij − (U e )ij   < ε,                                           (4.3.1)

îáðàçóþò ε -îêðåñòíîñòü îïåðàòîðà              U.
     Åñëè êàæäûé îïåðàòîð     U èç ãðóïïû G èìååò ε - îêðåñòíîñòü, íå
ñîäåðæàùóþ äðóãèõ îïåðàòîðîâ èç G , òî ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ äèñêðåò-
íîé; à ε - îêðåñòíîñòü ìîæåò áûòü äëÿ êàæäîãî U âûáðàíà îòäåëüíî.

Страницы