Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

96 Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
§4.2. Ãðóïïû â ìàòðè÷íîé ôîðìå
Âûáåðåì â
()
nC íåêîòîðûé áàçèñ
n
e,...,e
1
, òîãäà êàæäîìó îïåðàòî-
ðó U ìîæíî ñîïîñòàâèòü èçîáðàæàþùóþ åãî ìàòðèöó (ñì. §1.11). Ñìûñë
ìàòðè÷íîãî èçîáðàæåíèÿ îïåðàòîðîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî óðàâíåíèå
yUx =
çàïèñûâàåòñÿ â êîîðäèíàòàõ â âèäå
ji
j
i
xUy
= .
Ïðè ýòîì ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ èçîáðàæàåòñÿ â áàçèñå
n
e,...,e
1
ìàòðèöåé, ïîëó÷åííîé óìíîæåíèåì â òîì æå ïîðÿäêå ìàòðèö, èçîáðàæà-
þùèõ ñîìíîæèòåëè:
()
ee
e
VUUV =
. (4.2.1)
Òàê êàê ðàçëè÷íûå îïåðàòîðû èçîáðàæàþòñÿ ðàçíûìè ìàòðèöàìè,
ìîæíî çàìåíèòü êàæäûé îïåðàòîð ãðóïïû
G
åãî ìàòðèöåé; òîæäåñòâåí-
íûé îïåðàòîð, çàìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì åäèíè÷íîé ìàòðèöåé
1...00
............
0...10
0...01
, (4.2.2)
îáðàòíûå îïåðàòîðû  îáðàòíûìè ìàòðèöàìè; òàêèì îáðàçîì, âìåñòî
ãðóïïû îïåðàòîðîâ
G
ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ åé
ãðóïïó
()
nn
×
ìàòðèö ñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòàìè.
Íå ñëåäóåò, îäíàêî, çàáûâàòü, ÷òî â äðóãîì áàçèñå
n
eee
′′′
,...,,
21
îïåðàòîðû èç G áóäóò èçîáðàæàòüñÿ äðóãèìè ìàòðèöàìè, è çàìåíà «îïå-
ðàòîðíîé ãðóïïû» «ìàòðè÷íîé ãðóïïîé» âîçìîæíî ëèøü â ïîñòðîåíè-
ÿõ, ñ èñïîëüçîâàíèåì ôèêñèðîâàííîãî áàçèñà.
Ìàòðè÷íîå èçîáðàæåíèå äà¸ò âîçìîæíîñòü ââåñòè â ãðóïïàõ íåçà-
âèñèìûå îïåðàòîðû.
96                                                                Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

      §4.2. Ãðóïïû â ìàòðè÷íîé ôîðìå

     Âûáåðåì â           C (n ) íåêîòîðûé áàçèñ e1 ,...,en , òîãäà êàæäîìó îïåðàòî-
ðó U ìîæíî ñîïîñòàâèòü èçîáðàæàþùóþ åãî ìàòðèöó (ñì. §1.11). Ñìûñë
ìàòðè÷íîãî èçîáðàæåíèÿ îïåðàòîðîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî óðàâíåíèå
     Ux = y
çàïèñûâàåòñÿ â êîîðäèíàòàõ â âèäå
     y i = U ij x j .
     Ïðè ýòîì ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ èçîáðàæàåòñÿ â áàçèñå               e1 ,..., en
ìàòðèöåé, ïîëó÷åííîé óìíîæåíèåì â òîì æå ïîðÿäêå ìàòðèö, èçîáðàæà-
þùèõ ñîìíîæèòåëè:
     (UV )e = U eVe .                                                    (4.2.1)
     Òàê êàê ðàçëè÷íûå îïåðàòîðû èçîáðàæàþòñÿ ðàçíûìè ìàòðèöàìè,
ìîæíî çàìåíèòü êàæäûé îïåðàòîð ãðóïïû G åãî ìàòðèöåé; òîæäåñòâåí-
íûé îïåðàòîð, çàìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì åäèíè÷íîé ìàòðèöåé

     1      0     ...     0
                              
     0      1     ...     0
      ...   ...   ...     ...  ,                                       (4.2.2)
                              
     0                    1 
            0     ...
îáðàòíûå îïåðàòîðû – îáðàòíûìè ìàòðèöàìè; òàêèì îáðàçîì, âìåñòî
ãðóïïû îïåðàòîðîâ G ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ åé
ãðóïïó   (n × n ) ìàòðèö ñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòàìè.
     Íå ñëåäóåò, îäíàêî, çàáûâàòü, ÷òî â äðóãîì áàçèñå e1′ , e ′2 ,..., e n′

îïåðàòîðû èç G áóäóò èçîáðàæàòüñÿ äðóãèìè ìàòðèöàìè, è çàìåíà «îïå-
ðàòîðíîé ãðóïïû» «ìàòðè÷íîé ãðóïïîé» âîçìîæíî ëèøü â ïîñòðîåíè-
ÿõ, ñ èñïîëüçîâàíèåì ôèêñèðîâàííîãî áàçèñà.
      Ìàòðè÷íîå èçîáðàæåíèå äà¸ò âîçìîæíîñòü ââåñòè â ãðóïïàõ íåçà-
âèñèìûå îïåðàòîðû.

Страницы