Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 94 стр.

94                                                            Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Â ñàìîì äåëå, åñëè U èìååò îáðàòíûé îïåðàòîð
U −1 , òî
        U −1U = E (n ) ,                                              (4.1.1)
èëè, ÷òî òî æå:
åñëè
        Ux = y , òî U −1 y = x ,                         (4.1.2)
÷òî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò îáðàòíûé îïåðàòîð. Äëÿ îáðàòíîãî îïåðà-
òîðà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
        UU −1 = E (n ),                                               (4.1.3)
èëè, ÷òî òî æå:
åñëè
        U −1 y = x , òî Ux = y .                                      (4.1.4)
íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî
        (UV )(V −1U −1 ) = U (VV −1 )U −1 = UE (n )U −1 = UU −1 = E (n ) ,
îòêóäà ñëåäóåò âàæíîå ïðàâèëî îáðàùåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ:
        (UV )−1 = V −1U −1 .                           (4.1.5)
        Âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ íå êîììóòàòèâíî:
UV ≠ VU . Åñëè UV = VU , òî ãîâîðÿò, ÷òî îïåðàòîðû U è V êîììó-
òèðóþò.
    Äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà U áóäåò E (n )U = UE (n ) , òî åñòü E (n )
êîììóòèðóåò ñî âñåìè îïåðàòîðàìè; êðàòíîå òîæäåñòâåííîãî îïåðàòîðà
λE (n ) ïðè ëþáîì êîìïëåêñíîì λ êîììóòèðóåò ñî âñåìè îïåðàòîðàìè
â    C (n ) è íèêàêîé äðóãîé îïåðàòîð, êðîìå λE (n ) , íå îáëàäàåò òàêèì
ñâîéñòâîì. Îïåðàòîð     U âñåãäà êîììóòèðóåò ñ U −1 (ñì. (4.1.1), (4.1.3)).
        Åñëè âñå îïåðàòîðû ãðóïïû G êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì, òî G
íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîé èëè àáåëåâîé ãðóïïîé.
        Åñëè ãðóïïà
                  H ñîñòîèò èç ïîäìíîæåñòâà ãðóïïû G , òî H íàçû-
âàåòñÿ ïîäãðóïïîé G . Äëÿ òîãî, ÷òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïîäìíîæå-
ñòâî H ãðóïïû G ÿâëÿåòñÿ å¸ ïîäãðóïïîé, íàäî ïðåæäå âñåãî ïðîâå-
ðèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå (ñóììà) ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ èç H ïðèíàäëå-