Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

93Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà
Ãëàâà IV
Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà
 ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ïîíÿòèå ãðóïïû
1
, ïðåäñòàâëåíèå ãðóï-
ïû îïåðàòîðîâ
G
ãðóïïîé
()
nn
×
ìàòðèö ñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòà-
ìè, îïðåäåëèì ãðóïïó
()
C,nGL âñåõ îáðàòèìûõ îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàí-
ñòâå
()
nC , äàäèì îïðåäåëåíèå äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ãðóïï (ãðóïï
Ëè), ðàññìîòðèì êëàññèôèêàöèþ ãðóïï Ëè, èìåþùèõ ïðèíöèïèàëüíîå
çíà÷åíèå â ãåîìåòðèè è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå. Ðàññìîòðèì ïðÿìîå ïðî-
èçâåäåíèå ãðóïï, ñîïðÿæåííûå ýëåìåíòû è êëàññû.
§4.1. Îïðåäåëåíèå ãðóïï
Ñèñòåìà îïåðàòîðîâ G â
()
nC ( n ïðîèçâîëüíî, íî ôèêñèðîâàíî)
íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé, åñëè
G
îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ îïåðàòîðîâ èç
G
åñòü ñíîâà îïåðàòîð èç
G
.
2. Òîæäåñòâåííûé (åäèíè÷íûé) îïåðàòîð
()
nE ïðèíàäëåæèò G .
3. Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà U èç
G
ñóùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðà-
òîð
1−
U , è ýòîò îáðàòíûé îïåðàòîð ïðèíàäëåæèò
G
.
Îïåðàòîð U , èìåþùèé îáðàòíûé, íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì. Åñëè
îïåðàòîð U èìååò îáðàòíûé îïåðàòîð, òî ýòîò ïîñëåäíèé îïðåäåëÿåòñÿ
1
Òåîðèÿ ãðóïï, îäíà èç ñòàðåéøèõ è áîãàòåéøèõ ïî ðåçóëüòàòàì îáëàñòåé àë-
ãåáðû, èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â ãåîìåòðèè è â ïðèëîæåíèÿõ ìàòåìàòèêè
ê âîïðîñàì åñòåñòâîçíàíèÿ. Òåðìèí «ãðóïïà» ââåä¸í ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì
Ý.Ãàëóà (1811-1832) - ñîçäàòåëåì òåîðèè ãðóïï.
Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà                                                   93




         Ãëàâà IV
         Ãðóïïû è èõ ñâîéñòâà
      Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ïîíÿòèå ãðóïïû1, ïðåäñòàâëåíèå ãðóï-
ïû îïåðàòîðîâ G ãðóïïîé      (n × n ) ìàòðèö ñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòà-
ìè, îïðåäåëèì ãðóïïó GL (n ,C ) âñåõ îáðàòèìûõ îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàí-

ñòâå C (n ) , äàäèì îïðåäåëåíèå äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ãðóïï (ãðóïï
Ëè), ðàññìîòðèì êëàññèôèêàöèþ ãðóïï Ëè, èìåþùèõ ïðèíöèïèàëüíîå
çíà÷åíèå â ãåîìåòðèè è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå. Ðàññìîòðèì ïðÿìîå ïðî-
èçâåäåíèå ãðóïï, ñîïðÿæåííûå ýëåìåíòû è êëàññû.



      §4.1. Îïðåäåëåíèå ãðóïï

      Ñèñòåìà îïåðàòîðîâ   G â C (n ) ( n ïðîèçâîëüíî, íî ôèêñèðîâàíî)
íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé, åñëè G îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
      1. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ îïåðàòîðîâ èç G åñòü ñíîâà îïåðàòîð èç G .
      2. Òîæäåñòâåííûé (åäèíè÷íûé) îïåðàòîð     E (n ) ïðèíàäëåæèò G .
      3. Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà   U èç G ñóùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðà-
òîð U −1 , è ýòîò îáðàòíûé îïåðàòîð ïðèíàäëåæèò G .
     Îïåðàòîð U , èìåþùèé îáðàòíûé, íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì. Åñëè
îïåðàòîð U èìååò îáðàòíûé îïåðàòîð, òî ýòîò ïîñëåäíèé îïðåäåëÿåòñÿ

1
 Òåîðèÿ ãðóïï, îäíà èç ñòàðåéøèõ è áîãàòåéøèõ ïî ðåçóëüòàòàì îáëàñòåé àë-
ãåáðû, èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â ãåîìåòðèè è â ïðèëîæåíèÿõ ìàòåìàòèêè
ê âîïðîñàì åñòåñòâîçíàíèÿ. Òåðìèí «ãðóïïà» ââåä¸í ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì
Ý.Ãàëóà (1811-1832) - ñîçäàòåëåì òåîðèè ãðóïï.

Страницы