Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

91Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì
§3.8. Áèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû
Òåíçîð
()
q,pT íàçûâàåòñÿ áèñèììåòðè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáûõ
ïîäñòàíîâîê
=
p
i...ii
p...
s
21
21
,
=
q
j...jj
q...
t
21
21
(3.8.1)
êîîðäèíàòû
()
q,pT óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó
()
( )
p
q
p
q
...
...
...s
...t
TT
αα
ββ
αα
ββ
=
1
1
1
1
. (3.8.2)
Áèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû ìîæíî çàäàòü ÷èñëàìè çàïîëíåíèÿ
n
n
p,...,p
q,...,q
T
1
1
, (3.8.3)
ãäå
1
p - ÷èñëî âåðõíèõ èíäåêñîâ, ðàâíûõ åäèíèöå, ,
n
q
- ÷èñëî íèæíèõ
èíäåêñîâ, ðàâíûõ n .
Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà òàêèõ òåíçîðîâ ðàâíà
1
1
1
1
−
+−
−
+−
⋅=⋅
n
qn
n
pnn,qn,p
CCdd
. (3.8.4)
Åñëè êîìïîíåíòû òåíçîðà ñèììåòðè÷íû â îäíîì áàçèñå, òî òàêàÿ
æå ñèììåòðèÿ áóäåò èìåòü ìåñòî è â ëþáîì äðóãîì áàçèñå.
§3.9. Àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû
Òåíçîð
()
0,pT âèäà (3.7.1), íàçûâàåòñÿ àíòèñèììåòðè÷åñêèì, åñëè
äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè s
() ()
00 ,pTSgns,psT
⋅=
, (3.9.1)
ãäå Sgns 1 äëÿ ÷¸òíîé ïîäñòàíîâêè s è 1 äëÿ íå÷¸òíîé, òî åñòü êîîðäè-
íàòû òåíçîðà ìåíÿþò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ èíäåêñîâ.
Åñëè â íàáîðå èíäåêñîâ íåêîòîðîé êîîðäèíàòû åñòü äâà ðàâíûõ èí-
äåêñà, òî ýòà êîîðäèíàòà ðàâíà íóëþ.
Âñå àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû òèïà
()
0,pT íàä ïðîñòðàíñòâîì
()
nC îáðàçóþò ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç
Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì                                      91

       §3.8. Áèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû

     Òåíçîð               T ( p , q ) íàçûâàåòñÿ áèñèììåòðè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáûõ
ïîäñòàíîâîê

           1 2                ... p               1     2    ...   q
      s =                             ,      t =                                (3.8.1)
                               ... i p             j1   j2   ...   jq 
            i1 i2
êîîðäèíàòû               T ( p , q ) óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó
           s (α ...α      )   α ...α
      Tt (β1 ...1 βq )p = Tβ1 ...1 βq p .                                             (3.8.2)
      Áèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû ìîæíî çàäàòü ÷èñëàìè çàïîëíåíèÿ
      Tq1p1,...,,...,qnpn ,                                                           (3.8.3)

ãäå p1 - ÷èñëî âåðõíèõ èíäåêñîâ, ðàâíûõ åäèíèöå,                          ,   qn - ÷èñëî íèæíèõ
èíäåêñîâ, ðàâíûõ n .
      Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà òàêèõ òåíçîðîâ ðàâíà
      d p ,n ⋅ d q ,n = Cnn−−11+ p ⋅ Cnn−−11+ q .                                     (3.8.4)
     Åñëè êîìïîíåíòû òåíçîðà ñèììåòðè÷íû â îäíîì áàçèñå, òî òàêàÿ
æå ñèììåòðèÿ áóäåò èìåòü ìåñòî è â ëþáîì äðóãîì áàçèñå.


       §3.9. Àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû

      Òåíçîð  T ( p ,0 ) âèäà (3.7.1), íàçûâàåòñÿ àíòèñèììåòðè÷åñêèì, åñëè
äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè s
     sT ( p ,0) = Sgns ⋅ T ( p ,0) ,                             (3.9.1)
ãäå Sgns 1 äëÿ ÷¸òíîé ïîäñòàíîâêè s è –1 äëÿ íå÷¸òíîé, òî åñòü êîîðäè-
íàòû òåíçîðà ìåíÿþò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ èíäåêñîâ.
     Åñëè â íàáîðå èíäåêñîâ íåêîòîðîé êîîðäèíàòû åñòü äâà ðàâíûõ èí-
äåêñà, òî ýòà êîîðäèíàòà ðàâíà íóëþ.
      Âñå àíòèñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû òèïà                       T ( p ,0 ) íàä ïðîñòðàíñòâîì
C (n ) îáðàçóþò ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç

Страницы