Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

89Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì
Ìû ðàñïîëîæèëè èíäåêñû 112 â ñîîòâåòñòâèè ñ íîìåðàìè íèæíåé
ñòðîêè â s : òî åñòü íà ïåðâîå ìåñòî ïîñòàâèëè âòîðîé èíäåêñ, íà âòîðîå
 òðåòèé, íà òðåòüå  ïåðâûé.
 ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ìîæíî âûðàçèòü êîîðäèíàòû òåíçîðà sT ÷å-
ðåç êîîðäèíàòû òåíçîðà T ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû
()
( )
p
p
...s
...
TsT
αα
αα
=
1
1
. (3.7.4)
Áóäåì íàçûâàòü òåíçîð T ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáîé ïîä-
ñòàíîâêè
s
TsT = . (3.7.5)
 êîîðäèíàòàõ (3.7.5) âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì
( )
pp
......s
TT
αααα
=
11
, (3.7.6)
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå êîîðäèíàòû òåíçîðà
p
...
T
αα
1
çàâèñèò òîëü-
êî îò ñîñòàâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíäåêñîâ
p
,...,
αα
1
, íî íå îò èõ ïî-
ðÿäêà.
Ñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû óäîáíî çàäàâàòü ñ ïîìîùüþ ÷èñåë çàïîë-
íåíèÿ. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
p
...
αα
1
ñîäåðæèò
1
p èíäåêñîâ, ðàâ-
íûõ åäèíèöå,
2
p èíäåêñîâ, ðàâíûõ 2, ,
n
p
èíäåêñîâ, ðàâíûõ n , òîãäà
pp...pp
n
=+++
21
,
()
pp
i
≤≤
0 ,
()
n,...,i 1
=
.(3.7.7)
Òåïåðü, îáùåå çíà÷åíèå âñåõ êîîðäèíàò ñèììåòðè÷åñêîãî òåíçîðà
T , ó êîòîðûõ
1
p èíäåêñîâ, ðàâíûõ åäèíèöå,
2
p èíäåêñîâ, ðàâíûõ 2, ,
n
p
èíäåêñîâ, ðàâíûõ n , îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
n
p,...,p
T
1
:
p
n
,...,
p,...,p
TT
αα
=
1
1
. (3.7.8)
×èñëà
n
p,...,p
T
1
íàçûâàþòñÿ ÷èñëàìè çàïîëíåíèÿ òåíçîðà T .
Ñ ïîìîùüþ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ ëåãêî îïðåäåëèòü ðàçìåðíîñòü
n,p
d
ïðîñòðàíñòâà
()
0,pSym
n
âñåõ ñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ âàëåíòíîñòè
()
0,p íàä ïðîñòðàíñòâîì
()
nC , êîòîðàÿ ðàâíà ÷èñëó ÷èñåë çàïîëíåíèÿ,
íåîáõîäèìûõ äëÿ çàäàíèÿ òàêîãî òåíçîðà, òàê êàê ýòè ÷èñëà ñëóæàò íå-
çàâèñèìûìè êîîðäèíàòàìè â ïðîñòðàíñòâå
()
0,pSym
n
.
Òåíçîðíàÿ àëãåáðà íàä êîìïëåêñíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì                                                     89

     Ìû ðàñïîëîæèëè èíäåêñû 112 â ñîîòâåòñòâèè ñ íîìåðàìè íèæíåé
ñòðîêè â s : òî åñòü íà ïåðâîå ìåñòî ïîñòàâèëè âòîðîé èíäåêñ, íà âòîðîå
– òðåòèé, íà òðåòüå – ïåðâûé.
      ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ìîæíî âûðàçèòü êîîðäèíàòû òåíçîðà                                              sT ÷å-
ðåç êîîðäèíàòû òåíçîðà                             T ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû
                                         (            )
     (sT )    α1 ...α p
                             =T
                                        s α1 ...α p
                                                          .                                         (3.7.4)
     Áóäåì íàçûâàòü òåíçîð                                    T ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáîé ïîä-
ñòàíîâêè s
     sT = T .                                                                                       (3.7.5)
     Â êîîðäèíàòàõ (3.7.5) âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì
          (
         s α1 ...α p   )           α1 ...α p
     T                     =T                  ,                                                    (3.7.6)
                                                                                       α1 ...α p
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå êîîðäèíàòû òåíçîðà T        çàâèñèò òîëü-
êî îò ñîñòàâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíäåêñîâ α1 ,...,α p , íî íå îò èõ ïî-
ðÿäêà.
     Ñèììåòðè÷åñêèå òåíçîðû óäîáíî çàäàâàòü ñ ïîìîùüþ ÷èñåë çàïîë-
íåíèÿ. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü                                   α1 ...α p ñîäåðæèò p1 èíäåêñîâ, ðàâ-
íûõ åäèíèöå,               p2 èíäåêñîâ, ðàâíûõ 2,                      ,   pn èíäåêñîâ, ðàâíûõ n , òîãäà
      p1 + p2 + ... + pn = p ,                                 (0 ≤ pi ≤ p ),       (i = 1,...,n ) . (3.7.7)
     Òåïåðü, îáùåå çíà÷åíèå âñåõ êîîðäèíàò ñèììåòðè÷åñêîãî òåíçîðà
T , ó êîòîðûõ p1 èíäåêñîâ, ðàâíûõ åäèíèöå, p2 èíäåêñîâ, ðàâíûõ 2, ,
pn èíäåêñîâ, ðàâíûõ n , îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç T p1 ,...,pn :
                                 α1 ,...,α p
     T p1 ,...,pn = T                          .                                                    (3.7.8)
                           p1 ,...,pn
     ×èñëà        T                      íàçûâàþòñÿ ÷èñëàìè çàïîëíåíèÿ òåíçîðà                     T.
     Ñ ïîìîùüþ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ ëåãêî îïðåäåëèòü ðàçìåðíîñòü                                              d p ,n
ïðîñòðàíñòâà                Symn ( p ,0 ) âñåõ ñèììåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ âàëåíòíîñòè
( p ,0) íàä ïðîñòðàíñòâîì C (n ) , êîòîðàÿ ðàâíà ÷èñëó ÷èñåë çàïîëíåíèÿ,
íåîáõîäèìûõ äëÿ çàäàíèÿ òàêîãî òåíçîðà, òàê êàê ýòè ÷èñëà ñëóæàò íå-
çàâèñèìûìè êîîðäèíàòàìè â ïðîñòðàíñòâå                                       Symn ( p ,0 ).

Страницы