Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 88 стр.

88                                                                      Ãëàâà òðåòüÿ


      x j - âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà C (n ) .
      i
ãäå

          Êàæäîé ïîäñòàíîâêå                p ÷èñåë
               1 2            ... p 
          s =                                                             (3.7.2)
                i1 i2         ... i p 

ñîîòâåòñòâóåò îïåðàöèÿ íàä òåíçîðàìè, ñîïîñòàâëÿþùàÿ òåíçîðó T ( p ,0 )
òåíçîð
                               k1     k2          kp
          sT ( p ,0) = ∑ x j ⊗ x j ⊗ ... ⊗ x j ,                             (3.7.3)
                           j

ãäå   ki - ÷èñëî, ðàñïîëîæåííîå íàä i â ïîäñòàíîâêå (3.7.2). Î÷åâèäíî, ÷òî
s åñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð íà ïðîñòðàíñòâå C ( p ,0 ) è íå çàâèñèò îò ñïî-
ñîáà çàïèñè òåíçîðà.
          Óñòàíîâèì ñâÿçü êîîðäèíàò òåíçîðîâ
                                          T è sT , äëÿ ÷åãî ðàçëîæèì
òåíçîð T ïî áàçèñó (3.2.1) è ïðèìåíèì îïåðàòîð s ê îáåèì ÷àñòÿì ïîëó-
÷åííîãî ðàâåíñòâà. ×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàò, ââåä¸ì ñëåäóþ-
ùåå îáîçíà÷åíèå: ïóñòü               α1 ,...,α p - íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåê-
ñîâ (èíäåêñû, â îòëè÷èå îò êîîðäèíàò, ðàçäåëÿþòñÿ çàïÿòûìè),                     s (i ) -
÷èñëî, ðàñïîëîæåííîå ïîä                    i â ïîäñòàíîâêå (3.7.2). Îáîçíà÷èì ÷åðåç
s (α1 ,...,α p ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ α (s1 ) , α(s2 ) ,..., α(s p ) . Òàêèì
îáðàçîì, èíäåêñû ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè, íî èõ ñîñòàâ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
îñòà¸òñÿ íåèçìåííûì.

          Ïðèìåð 3.7.1.
          Åñëè

                        1 2 3
          p = 3 , s =        ,
                        2 3 1
òî s (1,1,2 ) = 1,2 ,1 .