Элементы теории симметрии. Часть I. Кирсанов А.А. - 86 стр.

86                                                                                                                Ãëàâà òðåòüÿ

íàêîâóþ âàëåíòíîñòü, îíè, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íû, òî åñòü óìíîæå-
íèå òåíçîðîâ íå êîììóòàòèâíî, ïðè ýòîì îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè ñâîé-
ñòâà àññîöèàòèâíîñòè è äèñòðèáóòèâíîñòè:

       (T1 ⊗ T2 ) ⊗ T3 = T1 ⊗ (T2 ⊗ T3 ), 
                                             
       T ⊗ (T1 + T2 ) = T ⊗ T1 + T ⊗ T2 ,                                                                             (3.6.3)
       (λT1 ) ⊗ T2 = T1 ⊗ λT2 = λ(T1 ⊗ T2 ).
       Â ñèëó (3.6.2), ïðîñòðàíñòâî                                           C ( p + r , q + s ) åñòü òåíçîðíîå (êðîíå-
êåðîâî) ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ                                                   C ( p , q ) è C (r , s ) .
       C ( p + q , r + s ) = C ( p , q ) ⊗ C (r , s ) .  (3.6.4)
     Ðàçëàãàÿ ñîìíîæèòåëè ïî ñîîòâåòñòâóþùèì áàçèñàì (3.2.1), ïîëó-
÷èì âûðàæåíèå êîîðäèíàò ïðîèçâåäåíèÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû ñîìíîæèòå-
ëåé.
     Åñëè
       T = T ′ ⊗ T ′′ ,
òî
            α′ ...α′ α′′ ...α′′                  α′ ...α′
       Tβ′1 ...1 β′qβp1′′ ...1β′s′ r = Tβ′′1 ...1β′q p ⋅ Tβ′1′′′ ...α1′β′ ...′s′ α′r′ .                                (3.6.5)
       Îïðåäåëèì òåïåðü äðóãóþ îïåðàöèþ, ñòàâÿùóþ â ñîîòâåòñòâèå êàæ-
äîìó òåíçîðó               T ( p , q ) (ñì. (3.6.1)) òåíçîð T ( p − 1, q − 1) , â ïðåäïîëîæå-
íèè, ÷òî          p ≥ 1, q ≥ 1 .
       Ôèêñèðóåì íåêîòîðûå íîìåðà                                                         i , k , 1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ k ≤ q , è ïîëî-
æèì
       T ( p − 1, q − 1) = Spki T ( p , q ) =
                                i                1                        i −1            i +1        p
       =∑ ~
          x x j ⊗ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗ x j ⊗ ... ⊗ x j ⊗
            j
                       k
              j


       ⊗~
        x ⊗ ... ⊗ ~
                  x ⊗~x ⊗ ... ⊗ ~
          j         j   j         j
                                x .                                                                                    (3.6.6)
             1                        k −1            k +1                        q


       Spki åñòü ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà C ( p , q ) â ïðîñòðàí-
ñòâî   C ( p − 1, q − 1), ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî òåíçîðà